Przestrzeń jednostajnie wypukła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń jednostajnie wypukła - przestrzeń unormowana spełniająca warunek

(.

Intuicyjnie, przestrzeń jednostajnie wypukła to przestrzeń unormowana, której geometria przypomina geometrię przestrzeni unitarnej. W szczególności każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią jednostajnie wypukłą.

Przykłady[edytuj]

Przestrzenie unitarne[edytuj]

Z tożsamości równoległoboku wynika, ze przestrzenie unitarne są jednostajnie wypukłe. Istotnie, dla ustalonego ε > 0 oraz punktów x, y o normach ||x||, ||y|| ≤ 1 spełniony jest warunek

,

skąd wynika, że

.

Przestrzenie Lp[edytuj]

James A. Clarkson udowodnił, że dla dowolnego p ∈ (1, ∞) i miary dodatniej μ, przestrzeń Lp(μ) jest jednostajnie wypukła (w szczególności, przestrzenie p są jednostajnie wypukłe dla p ∈ (1, ∞))[1].

Prostym przykładem przestrzeni, która nie jest jednostajnie wypukła jest płaszczyzna R2 z normą

Jednostajna wypukłość a refleksywność[edytuj]

 Osobny artykuł: Twierdzenie Milmana-Pettisa.

Twierdzenie Milmana-Pettisa orzeka, że każda przestrzeń Banacha jednostajnie wypukła jest refleksywna. Twierdzenie odwrotne nie zachodzi, gdyż istnieją przestrzenie skończenie wymiarowe (a więc refleksywne), które nie są jednostajnie wypukłe. Co więcej, Day[2] wykazał, że istnieją refleksywne przestrzenie Banacha na których nie można wprowadzić normy jednostajnie wypukłej, na przykład

Zbieżność[edytuj]

W przestrzeni jednostajnie wypukłej X, jeśli ciąg (xn) punktów tej przestrzeni jest słabo zbieżny do punktu x0 oraz

,

to ciąg (xn) jest zbieżny normowo (do x0).

Przypisy

  1. J. A. Clarkson, Uniformly convex spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 40 (1936), 396–414.
  2. M. M. Day, Reflexive Banach spaces not isomorphic to uniformly convex spaces, Bull. Amer. Math. Soc. 47 (1941), 313–317.

Bibliografia[edytuj]

  1. O. Hanner, On the uniform convexity of Lp and lp, Ark. Mat. 3 (1956), 239–244.
  2. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976, s. 192.