Przestrzeń jednostajnie wypukła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń jednostajnie wypukła - przestrzeń unormowana X spełniająca warunek

(\forall{\varepsilon>0})(\exists{\delta>0})(\forall{x,y\in X})\left( \|x\|\leqslant 1, \|y\|\leqslant 1, \|x-y\|\geqslant \varepsilon \Rightarrow \|\tfrac{1}{2}(x+y)\|\leqslant 1-\delta\right).

Intuicyjnie, przestrzeń jednostajnie wypukła to przestrzeń unormowana, której geometria przypomina geometrię przestrzeni unitarnej. W szczególności każda przestrzeń unitarna jest przestrzenią jednostajnie wypukłą.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Przestrzenie unitarne[edytuj | edytuj kod]

Z tożsamości równoległoboku wynika, ze przestrzenie unitarne są jednostajnie wypukłe. Istotnie, dla ustalonego ε > 0 oraz punktów x, y o normach ||x||, ||y|| ≤ 1 spełniony jest warunek

\|\tfrac{1}{2}(x+y)\|^2=\tfrac{1}{2}\|x\|^2+\tfrac{1}{2}\|y\|^2-\tfrac{1}{4}\|x-y\|^2\leqslant 1-\frac{1}{4}\varepsilon^2,

skąd wynika, że

\|\tfrac{1}{2}(x+y)\|\leqslant \sqrt{1-\tfrac{1}{4}\varepsilon^2}\leqslant 1-\tfrac{1}{8}\varepsilon^2.

Przestrzenie Lp[edytuj | edytuj kod]

James A. Clarkson udowodnił, że dla dowolnego p ∈ (1, ∞) i miary dodatniej μ, przestrzeń Lp(μ) jest jednostajnie wypukła (w szczególności, przestrzenie p są jednostajnie wypukłe dla p ∈ (1, ∞))[1].

Prostym przykładem przestrzeni, która nie jest jednostajnie wypukła jest płaszczyzna R2 z normą

\|(x,y)\|=\max\{|x|, |y|\}\;\;\big((x,y)\in \mathbb{R}^2\big).

Twierdzenie Clarksona-Milmana[edytuj | edytuj kod]

Każda przestrzeń Banacha jednostajnie wypukła jest refleksywna.

Twierdzenie zwane to jest czasem także twierdzeniem Milmana-Pettisa.

Zbieżność[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeni jednostajnie wypukłej X, jeśli ciąg (xn) punktów tej przestrzeni jest słabo zbieżny do punktu x0 oraz

\|x_n\|\longrightarrow \|x_0\|,

to ciąg (xn) jest zbieżny normowo (do x0).

Przypisy

  1. J. A. Clarkson, Uniformly convex spaces, Trans. Amer. Math. Soc. 40 (1936), 396–414.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. O. Hanner, On the uniform convexity of Lp and lp, Ark. Mat. 3 (1956), 239–244.
  2. Julian Musielak: Wstęp do analizy funkcjonalnej. Warszawa: PWN, 1976, s. 192.