Przestrzeń l1

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń 1przestrzeń Banacha p przy p = 1; przestrzeń ciągów bezwzględnie sumowalnych, tj. przestrzeń wszystkich ciągów liczbowych (xn) dla których

Definicja ta rozszerza się na dowolne zbiory indeksów – dla dowolnego zbioru niepustego Г definiuje się przestrzeń 1(Г) złożoną z funkcji skalarnych na Г, które są bezwzględnie sumowalne (w szczególności, zbiór elementów dziedziny każdej takiej funkcji na których jest ona niezerowa jest zbiór przeliczalny).

Własności[edytuj | edytuj kod]

Dla dowolnego zbioru Г również w podobny sposób można utożsamić (ℓ1(Г))* z ℓ(Г):
Jeżeli przestrzeń Banacha E ma tę własność, iż przestrzeń sprzężona E* jest izometryczna z (Г), to E jest izometryczna z ℓ1(Г).

Własność Schura[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń 1 ma własność Schura, tj. ciągi zbieżne w 1 w sensie słabej topologii są również zbieżne w sensie normy. Fakt ten udowodnił I. Schur w 1921[3].

Dowód. Bez straty ogólności można ograniczyć się do wykazania, że jeżeli (fn) jest ciągiem elementów przestrzeni 1 zbieżnym słabo do 0 (tj. ‹ fn, g › → 0 dla każdego g), to || fn || → 0. Ze słabej zbieżności ciągu (fn) wynika zbieżność punktowa do 0 (wystarczy rozważać elementy standardowej bazy przestrzeni c0 za funkcjonały g). Dowód będzie przebiegał przez kontrapozycję. Załóżmy, że ciąg norm || fn || nie zbiega do 0, ale zbiega do 0 słabo. Brak zbieżności w normie do 0 oznacza, że przy ustalonym ε > 0, istnieje taki podciąg (fnk), że || fnk || > ε dla wszelkich k. Ciąg (fn1) należy do 1, a zatem istnieje takie M1 naturalne, że
Ponieważ || fn1 || > ε, zachodzi oszacowanie
Istnieje zatem taki indeks nk2 > nk1 := n1, że
Musi zatem istnieć takie M2 > M1, że
Kontynuując ten proces indukcyjnie, można dojść do ściśle rosnącego ciągu liczb naturalnych (Mj) oraz podciągu fnkj o tej własności, że
Niech g = (g(k)) będzie ciągiem liczbowym danym wzorem
gdy k należy do przedziału [Mj, ..., Mj+1). Wówczas g oraz || g || = 1. Ostatecznie, dla wszelkich j ≥ 2 zachodzi oszacowanie
które prowadzi do sprzeczności z założeniem o słabej zbieżności ciągu (fn) do 0.

W odróżnieniu od przestrzeni 1, przestrzeń L1 nie ma własności Schura ponieważ zawiera nieskończenie wymiarową przestrzeń Hilberta (która jako przestrzeń refleksywna nie ma własności Schura).

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. A. Pełczyński, Projections in certain Banach spaces, Studia Math. 19 (1960), 209–228.
  2. G. Köthe, Hebbare lokalkonvexe Räume, Math. Ann. 165 (1966), 181–195.
  3. J. Schur, Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 151 (1920), 79-111.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • F. Albiac, N.J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006, s. 37. ISBN 978-0-387-28141-4.
  • M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Math. Springer, 2011, s. 252.