Przestrzeń lokalnie jednostajnie wypukła

Przestrzeń lokalnie jednostajnie wypukła – przestrzeń Banacha $X$ o tej własności, że dla każdej dodaniej liczby $\varepsilon$ i każdego takiego elementu $x$ przestrzeni $X$ o normie równej 1, istnieje taka liczba $\delta >0$ (zależna od $\varepsilon$ i $x$ ), że jeżeli $y$ jest elementem przestrzeni $X$ o normie równej 1 oraz

\|x-y\|\geqslant \varepsilon ,

to

{\frac {\|x+y\|}{2}}\leqslant 1-\delta .

Pojęcie przestrzeni lokalnie jednostajnie wypukłej uogólnia pojęcie przestrzeni jednostajnie wypukłej i zostało wprowadzone w roku 1955 przez A.R. Lovaglię^[1] – udowodnił on, m.in., że $\ell _{2}$ -suma przestrzeni lokalnie jednostajnie wypukłych nadal jest przestrzenią lokalnie jednostajnie wypukłą.

Dowodzi się, że przestrzeń Banacha jest lokalnie jednostajnie wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg jej punktów $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ o wyrazach mających normę równą 1 oraz dla którego istnieje granica

\lim _{n\to \infty }\|x_{n}+x_{0}\|=2,

przy pewnym elemencie $x_{0}$ przestrzeni $X$ mającym normę 1, jest zbieżny do punktu $x_{0}.$

W literaturze używane bywa także pojęcie słabo lokalnie jednostajnie wypukłej przestrzeni Banacha, które definiuje się zastępując warunek zbieżności ciągu $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ do $x_{0}$ powyżej słabą zbieżnością.

Własności i przykłady[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeni $C[0,1]$ wszystkich funkcji ciągłych na odcinku jednostkowym z normą supremum (a więc, w szczególności, w każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha; por. twierdzenie Banacha-Mazura), istnieje norma równoważna, która jest lokalnie jednostajnie wypukła^[2].
W każdej przestrzeni Banacha typu WCG istnieje norma lokalnie jednostajnie wypukła^[3].
Jeżeli druga przestrzeń sprzężona $X^{**}$ przestrzeni Banacha $X$ jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła, to $X$ jest refleksywna.
Przestrzeń sprzężona przestrzeni Banacha, która jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła ma również własność Radona-Nikodýma^[4].
Szymon Draga udowodnił, że w każdej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Banacha $X$ o tej własności, że przestrzeń sprzężona $X^{*}$ jest ośrodkowa można wprowadzić normę równoważną, która jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła, ale nie lokalnie jednostajnie wypukła^[5]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

↑ A.R. Lovaglia, Locally uniformly convex Banach spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.” 78 (1955), s. 225–238.
↑ M.I. Kadec, Spaces isomorphic to a locally uniformly convex space, „Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat.” 13 (1959), s. 51–57.
↑ S.L. Troyanski, On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces, „Studia Math.” 37, s. 173–180.
↑ J. Diestel, B. Faires, On vector measures, „Trans. Amer. Math. Soc.” 198 (1974), s. 253–271.
↑ Sz. Draga, On weakly locally uniformly rotund norms which are not locally uniformly rotund, „Colloq. Math.” 138 (2015), s. 241–246.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Joe Diestel, Jerry J. Uhl: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, s. 212.
Albert Pietsch: History of Banach Spaces and Linear Operators. Wyd. pierwsze. Boston: Birkhäuser, 2007, s. 240. ISBN 0-8176-4367-2.

[1] A.R. Lovaglia, Locally uniformly convex Banach spaces, „Trans. Amer. Math. Soc.” 78 (1955), s. 225–238.

[2] M.I. Kadec, Spaces isomorphic to a locally uniformly convex space, „Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat.” 13 (1959), s. 51–57.

[3] S.L. Troyanski, On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces, „Studia Math.” 37, s. 173–180.

[4] J. Diestel, B. Faires, On vector measures, „Trans. Amer. Math. Soc.” 198 (1974), s. 253–271.

[5] Sz. Draga, On weakly locally uniformly rotund norms which are not locally uniformly rotund, „Colloq. Math.” 138 (2015), s. 241–246.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]