Przestrzeń lokalnie zwarta

Przestrzeń lokalnie zwarta – przestrzeń topologiczna, która lokalnie wygląda jak przestrzeń zwarta. Ściśle mówiąc, przestrzeń topologiczna $(X,\tau )$ jest lokalnie zwarta jeśli każdy punkt $x\in X$ ma bazę otoczeń złożoną ze zbiorów warunkowo zwartych.

Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są lokalnie zwarte:

odcinek domknięty $[0,1],$ zbiór Cantora i ogólniej każda przestrzeń zwarta,
prosta rzeczywista $\mathbb {R}$ i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych $\mathbb {R} ^{n},$
każda przestrzeń dyskretna.

Następujące przestrzenie nie są lokalnie zwarte:

przestrzeń liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ z topologią podprzestrzeni $\mathbb {R} ,$
przestrzeń Baire’a $\mathbb {N} ^{\mathbb {N} },$
przestrzeń liczb niewymiernych $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ z topologią podprzestrzeni $\mathbb {R}$ (będąca homeomorficzna z przestrzenią Baire’a),
przestrzeń $\{(0,0)\}\cup \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:y>0\}$ (z topologią podprzestrzeni płaszczyzny).

X

jest przestrzenią lokalnie zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt

x\in X

ma otoczenie zwarte.

Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest całkowicie regularna.
Całkowicie regularna przestrzeń $X$ jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona otwartą podprzestrzenią swego uzwarcenia Čecha-Stone’a $\beta X.$
Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest zupełna w sensie Čecha.
Niezwarte, lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa, to są dokładnie te przestrzenie których uzwarcenie jednopunktowe jest T₂.
Zarówno otwarte, jak i domknięte podprzestrzenie lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa są lokalnie zwarte.
Jeśli $(X,\tau )$ jest lokalnie zwartą przestrzenią T₂, $U\in \tau$ oraz $Z\subseteq U$ jest zwarty, to istnieje zbiór otwarty $V\in \tau$ taki, że $Z\subseteq V\subseteq \mathrm {cl} (V)\subseteq U$ oraz $\mathrm {cl} (V)$ jest zwarte.
Na lokalnie zwartej grupie topologicznej można określić miarę (lewostronnie) niezmienniczą na działanie grupowe i mierzącą wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez zbiory zwarte; jest to tzw. miara Haara.