Przestrzeń lokalnie zwarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń lokalnie zwartaprzestrzeń topologiczna, która lokalnie wygląda jak przestrzeń zwarta. Ściśle mówiąc, przestrzeń topologiczna jest lokalnie zwarta jeśli każdy punkt ma bazę otoczeń złożoną ze zbiorów warunkowo zwartych.

Przykłady[edytuj]

Następujące przestrzenie topologiczne są lokalnie zwarte:

Następujące przestrzenie nie są lokalnie zwarte:

  • przestrzeń liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni ,
  • przestrzeń Baire'a
  • przestrzeń liczb niewymiernych z topologią podprzestrzeni (będąca homeomorficzna z przestrzenią Baire'a)
  • przestrzeń (z topologią podprzestrzeni płaszczyzny).

Własności[edytuj]

  • Jeśli jest przestrzenią T2, to
jest przestrzenią lokalnie zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt ma otoczenie zwarte.
  • Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest całkowicie regularna.
  • Całkowicie regularna przestrzeń jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona otwartą podprzestrzenią swego uzwarcenia Čecha-Stone’a .
  • Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest zupełna w sensie Čecha.
  • Niezwarte, lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa, to są dokładnie te przestrzenie których uzwarcenie jednopunktowe jest T2.
  • Zarówno otwarte jak i domknięte podprzestrzenie lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa są lokalnie zwarte.
  • Jeśli jest lokalnie zwartą przestrzenią T2, oraz jest zwarty, to istnieje zbiór otwarty taki, że oraz jest zwarte.
  • Na lokalnie zwartej grupie topologicznej można określić miarę (lewostronnie) niezmienniczą na działanie grupowe i mierzącą wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez zbiory zwarte; jest to tzw miara Haara.

Zobacz też[edytuj]