Przestrzeń lokalnie zwarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń lokalnie zwartaprzestrzeń topologiczna, która lokalnie wygląda jak przestrzeń zwarta. Ściśle mówiąc, przestrzeń topologiczna jest lokalnie zwarta jeśli każdy punkt ma bazę otoczeń złożoną ze zbiorów warunkowo zwartych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Następujące przestrzenie topologiczne są lokalnie zwarte:

Następujące przestrzenie nie są lokalnie zwarte:

  • przestrzeń liczb wymiernych z topologią podprzestrzeni ,
  • przestrzeń Baire'a
  • przestrzeń liczb niewymiernych z topologią podprzestrzeni (będąca homeomorficzna z przestrzenią Baire'a)
  • przestrzeń (z topologią podprzestrzeni płaszczyzny).

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli jest przestrzenią T2, to
jest przestrzenią lokalnie zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy każdy punkt ma otoczenie zwarte.
  • Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest całkowicie regularna.
  • Całkowicie regularna przestrzeń jest lokalnie zwarta wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona otwartą podprzestrzenią swego uzwarcenia Čecha-Stone’a .
  • Każda lokalnie zwarta przestrzeń Hausdorffa jest zupełna w sensie Čecha.
  • Niezwarte, lokalnie zwarte przestrzenie Hausdorffa, to są dokładnie te przestrzenie których uzwarcenie jednopunktowe jest T2.
  • Zarówno otwarte jak i domknięte podprzestrzenie lokalnie zwartej przestrzeni Hausdorffa są lokalnie zwarte.
  • Jeśli jest lokalnie zwartą przestrzenią T2, oraz jest zwarty, to istnieje zbiór otwarty taki, że oraz jest zwarte.
  • Na lokalnie zwartej grupie topologicznej można określić miarę (lewostronnie) niezmienniczą na działanie grupowe i mierzącą wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez zbiory zwarte; jest to tzw miara Haara.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]