Przestrzeń metryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń metrycznazbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.

Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę zbiorów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).

Wprowadzone zostały przez Maurice’a Frécheta[1].

Definicja metryki[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką w zbiorze nazywa się funkcję[2]

która dla dowolnych elementów tego zbioru spełnia warunki:

  1. identyczność nierozróżnialnych
  2. symetria
  3. nierówność trójkąta

Gdy jest metryką w zbiorze to parę nazywa się przestrzenią metryczną,

  • elementy zbioru nazywa się punktami,
  • liczbę nazywa się odległością punktu od punktu

Uwaga 1.[edytuj | edytuj kod]

Niekiedy pomija się warunek nieujemności przyjmując zamiast

Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:

Uwaga 2.[edytuj | edytuj kod]

Można wyeliminować aksjomat symetrii, gdy zastąpi się warunek trójkąta warunkiem:

Dowód:

1) Przyjmując w powyższym warunku dostaniemy:

2) Zamieniając w powyższym warunku i oraz przyjmując dostaniemy:

3) Z powyższych dwóch nierówności wynika: c.n.d.

Metryki w przestrzeni liniowej[edytuj | edytuj kod]

W przestrzeni liniowej (np. euklidesowej, unormowanej, unitarnej) można wprowadzić różnie zdefiniowane metryki. W wyniku tego przestrzeń nabywa dodatkowej struktury – powstaje przestrzeń metryczna. W poniższych przykładach oraz oznaczają elementy przestrzeni

Metryka euklidesowa[edytuj | edytuj kod]

Metrykę euklidesową w przestrzeni definiuje się wzorem

tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:

W przypadku jednowymiarowym powyższy wzór redukuje się do wartości bezwzględnej różnic współrzędnych punktów oraz

Metryka generowana przez normę[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli jest przestrzenią unormowaną, to jako odległość (metrykę) punktów można przyjąć długość (normę) wektora, będącego różnicą wektorów tj.

dla

Metryka ta jest uogólnieniem metryki euklidesowej. Np. metrykami są funkcje postaci

gdzie Metryka jest metryką euklidesową i oznacza się ją symbolem

Metrykę, którą definiuje się w oparciu o normę przestrzeni, nazywa się metryką generowaną przez normę.

Metryka maksimum[edytuj | edytuj kod]

abcdefgh
8
Chessboard480.svg
d5 black circle
e5 black circle
f5 black circle
d4 black circle
e4 white king
f4 black circle
d3 black circle
e3 black circle
f3 black circle
8
77
66
55
44
33
22
11
abcdefgh
 Zobacz też: odległość Czebyszewa.

Metryka maksimum zwana także metryką nieskończoność, maksimum, Czebyszewa, szachową jest określona w przestrzeni za pomocą wzoru

– odległość ta jest de facto metryką generowaną przez normę maksimum zadaną wzorem

Kula w tej metryce jest kostką n-wymiarową.

Łatwo sprawdzić, że w grze w szachy minimalna liczba ruchów, jakie musi wykonać król, aby przejść z pewnego pola na inne określona jest tą metryką (na rysunku obok pokazano możliwe ruchy króla z danego pola).

Metryka węzła kolejowego[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: jeż (topologia).

Metryka węzła kolejowego zwana także metryką centrum, kolejową, metra paryskiego może być zdefiniowana na płaszczyźnie.

Niech będzie pewnym ustalonym punktem na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej przechodzącej przez punkt to
w przeciwnym wypadku

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń w której ustalono pewien jej punkt

Metrykę powyższą można też zastosować do labiryntu, w którym wszystkie korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście od jednego punktu Przejście z jednego korytarza do drugiego wymaga dotarcia do skrzyżowania (centrum), aby możliwe było skręcenie w docelowy korytarz. Długość pokonanej trasy odpowiada odległości wyliczonej w tej metryce.

Metryka rzeka[edytuj | edytuj kod]

Odległość w metryce rzeka.

Niech będzie ustaloną prostą na płaszczyźnie. Odległość punktów w metryce rzece wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej to
w przeciwnym wypadku
gdzie są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio na prostą

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń w której ustalono pewną jej prostą

Metrykę tą można zastosować np. do mierzenia trasy pokonanej drogą wodną w sieci złożonej z rzeki i licznych, prostopadłych jej dopływów (por. rysunek).

Uogólniona metryka rzeka[edytuj | edytuj kod]

Dalsze uogólnienie tej i poprzedniej metryki w można uzyskać przyjmując zamiast punktu i prostej rozmaitość liniową wymiaru a spełniającego Niech ponadto przy czym

Jeżeli punkty leżą na pewnej rozmaitości wymiaru prostopadłej do rozmaitości to
w przeciwnym wypadku
gdzie są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio na prostą

Dla a=1, b=1 jest to metryka rzeka, dla a=0, b=1 jest to metryka węzła kolejowego

Metryka dyskretna[edytuj | edytuj kod]

Metrykę dyskretną zwaną także metryką zero-jedynkową wprowadzić można w dowolnym niepustym zbiorze. Odległość punktów oraz zbioru określa wzór[3]

Parę z metryką nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną.

Porównanie metryk przytoczonych w przykładach[edytuj | edytuj kod]

Dla metryki euklidesowa, Manhattan, szachowa pokrywają się. Jeżeli to metryki szachowa i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

Metryka w przestrzeniach pseudoriemannowskich[edytuj | edytuj kod]

Powierzchnia sfery, elipsoidy obrotowej, hiperboloidy obrotowej, czy też 4-wymiarowa czasoprzestrzeń opisywana w ogólnej teorii względności są przykładami przestrzeni nieeuklidesowych, które określa się jako rozmaitości riemannowskie i najogólniejsze – rozmaitości pseudoriemannowskie.

Nie da się w ogólnym przypadku wprowadzić tu metryki opisanej prostym wzorem, tak jak w przestrzeniach liniowych, np. w przestrzeni euklidesowej. Podstawową rolę gra tu tensor metryczny.

Niech będzie rozmaitością wymiaru i niech dany będzie układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe

Odległość infinitezymalna[edytuj | edytuj kod]

Tensor metryczny definiuje infinitezymalne odległości między punktami: długość wektora łączącego punkt z infinitezymalnie odległym punktem zadana jest wzorem

gdzie:

– współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia )

Odległość dowolnych punktów[edytuj | edytuj kod]

Dla punktów rozmaitości dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty czyli

gdzie:

  • = infimum = kres dolny zbioru
  • – długość krzywej

przy czym krzywa dana jest przez równań parametrycznych

oraz

Dla przestrzeni riemannowskich odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej geodezyjnej. Dla sfery będzie to łuk koła wielkiego, na którym leżą dwa punkty. A np. dla czasoprzestrzeni, która jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską, odległość może być zerowa, jeśli łączy dwa punkty – tzw. zdarzenia czasoprzestrzenne – które są związane z rozchodzeniem się sygnału świetlnego.

Topologia przestrzeni metrycznej[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń metryczną łatwo jest przekształcić w przestrzeń topologiczną, definiując następująco topologię:

a) bazę topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci

gdzie – dowolny elementem przestrzeni – promień kuli

b) podzbiór przestrzeni należy do topologii (czyli jest zbiorem otwartym), jeżeli jest sumą kul otwartych.

Taką topologię nazywa się topologią generowaną na zbiorze przez metrykę

Metryzowalna przestrzeń topologiczna[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Twierdzenia o metryzacji.

Przestrzeń topologiczną nazywamy przestrzenią metryzowalną, jeśli da się w niej wprowadzić topologię generowaną przez jakąś metrykę. Przykładami twierdzeń dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych są:

Z punktu widzenia topologii metryki służą badaniu przestrzeni metryzowalnych (analogicznie jak układy współrzędnych służą badaniu przestrzeni euklidesowych).

Własności przestrzeni metrycznych[edytuj | edytuj kod]

Tw. 1 Każda przestrzeń metryczna jest

Tw. 2 Poniższe niezmienniki topologiczne są równoważne w przestrzeniach metrycznych:

Definicja odległości punktu od zbioru[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: metryka Hausdorffa.

Odległością (odstępem) punktu od zbioru nazywa się funkcję

Równoważność metryk[edytuj | edytuj kod]

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech będą przestrzeniami metrycznymi.

Df. 1 Metryki nazywa się równoważnymi topologicznie, jeżeli granice dowolnych ciągów obliczone z użyciem tych metryk są identyczne[4].

Df. 2 Metryki nazywa się równoważnymi lipschitzowsko, jeżeli istnieją stałe takie że dla każdego spełniony jest warunek

Twierdzenia o metrykach równoważnych[edytuj | edytuj kod]

Tw. 1 Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru jest zbieżny w sensie metryki to jest także zbieżny w sensie metryki

Tw. 2 W rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie.

Tw. 3 Gdy dwie normy Banacha zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

Metryka niezmiennicza na przesunięcia[edytuj | edytuj kod]

Metrykę nazywa się niezmienniczą ze względu na przesunięcia, jeśli na przestrzeni metrycznej określone jest działanie dodawania i dla dowolnych punktów zachodzi warunek

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Rozpatruje się wiele funkcji spełniających podobne układy aksjomatów:

  • zastępując aksjomat identyczności nierozróżnialnych następującym
uzyskuje się tzw. pseudometrykę.
  • rezygnując z aksjomatu symetrii uzyskuje się quasi-metryką
  • zastępując warunek trójkąta aksjomatem
uzyskuje się funkcję nazywaną ultrametryką.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Inne typy metryk:

Pseudometryki:

Przestrzenie metryzowalne:

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74.
  2. Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 31.
  3. Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 31.
  4. Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, s. 33.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]