Przestrzeń metryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń metrycznazbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.

Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę zbiorów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).

Wprowadzone zostały przez Maurice'a Frécheta[1].

Definicja[edytuj]

Niech oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką w zbiorze nazywa się funkcję[2]

,

która dla dowolnych elementów tego zbioru spełnia warunki:

  1. identyczność nierozróżnialnych
    ,
  2. symetria
    ,
  3. nierówność trójkąta
    .

Gdy jest metryką w zbiorze , to parę nazywa się przestrzenią metryczną,

  • elementy zbioru nazywa się punktami,
  • liczbę nazywa się odległością punktu od punktu .

Uwaga 1.[edytuj]

Niekiedy pomija się warunek nieujemności przyjmując zamiast .

Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:

Uwaga 2.[edytuj]

Można wyeliminować aksjomat symetrii, gdy zastąpi się warunek trójkąta warunkiem:

.

Dowód:

1) Przyjmując w powyższym warunku dostaniemy:

.

2) Zamieniając w powyższym warunku i oraz przyjmując dostaniemy:

.

3) Z powyższych dwóch nierówności wynika: , c.n.d.

Przykłady[edytuj]

W poniższych przykładach oraz oznaczają elementy przestrzeni .

Metryka euklidesowa[edytuj]

 Osobny artykuł: przestrzeń euklidesowa.

Metrykę euklidesową w przestrzeni definiuje się wzorem

tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:

W przypadku jednowymiarowym powyższy wzór redukuje się do wartości bezwzględnej różnic współrzędnych punktów oraz

Metryka w przestrzeni unormowanej[edytuj]

 Osobny artykuł: przestrzeń unormowana.

W przestrzeni unormowanej metrykę można zdefiniować wzorem:

dla

Przykład ten jest dalekim uogólnieniem poprzedniego przykładu metryki euklidesowej.

Metryka miejska[edytuj]

Zielona przekątna – odległość względem metryki euklidesowej (, tj. ok. 8,48 j.)
Pozostałe krzywe – odległość względem metryki miejskiej (12 j.)

Metryka miejska zwana także metryką Manhattan, miasto, taksówkową, wielkomiejską jest określona w następującym wzorem:

tzn. jako suma wartości bezwzględnych różnic współrzędnych punktów oraz .

Metrykę można zastosować do miasta, gdzie ulice biegną wyłącznie w kierunkach wschód-zachód oraz północ-południe. Każda trasa jaką można przemieścić się z jednego punktu do drugiego będzie miała długość zgodną z tą metryką.

W szczególności, jeśli , to , oraz

Metryka maksimum[edytuj]

a b c d e f g h
8
Chessboard480.svg
d5 black circle
e5 black circle
f5 black circle
d4 black circle
e4 white king
f4 black circle
d3 black circle
e3 black circle
f3 black circle
8
7 7
6 6
5 5
4 4
3 3
2 2
1 1
a b c d e f g h
 Zobacz też: odległość Czebyszewa.

Metryka maksimum zwana także metryką nieskończoność, maksimum, Czebyszewa, szachową jest określona w przestrzeni za pomocą wzoru

Kula w tej metryce jest kostką n-wymiarową.

Łatwo sprawdzić, że w grze w szachy minimalna liczba ruchów, jakie musi wykonać król, aby przejść z pewnego pola na inne określona jest tą metryką (na rysunku obok pokazano możliwe ruchy króla z danego pola).

Metryka węzła kolejowego[edytuj]

 Zobacz też: jeż (topologia).

Metryka węzła kolejowego zwana także metryką centrum, kolejową, metra paryskiego może być zdefiniowana na płaszczyźnie.

Niech będzie pewnym ustalonym punktem na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów w tej metryce wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej przechodzącej przez punkt , to
,
w przeciwnym wypadku
.

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń , w której ustalono pewien jej punkt .

Metrykę powyższą można też zastosować do labiryntu, w którym wszystkie korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście od jednego punktu . Przejście z jednego korytarza do drugiego wymaga dotarcia do skrzyżowania (centrum), aby możliwe było skręcenie w docelowy korytarz. Długość pokonanej trasy odpowiada odległości wyliczonej w tej metryce.

Metryka rzeka[edytuj]

Odległość w metryce rzeka.

Niech będzie ustaloną prostą na płaszczyźnie. Odległość punktów w metryce rzece wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej , to
,
w przeciwnym wypadku
.
gdzie są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio na prostą .

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń , w której ustalono pewną jej prostą .

Metrykę tą można zastosować np. do mierzenia trasy pokonanej drogą wodną w sieci złożonej z rzeki i licznych, prostopadłych jej dopływów (por. rysunek).

Uogólniona metryka rzeka[edytuj]

Dalsze uogólnienie tej i poprzedniej metryki w można uzyskać przyjmując zamiast punktu i prostej rozmaitość liniową wymiaru a spełniającego . Niech ponadto , przy czym .

Jeżeli punkty leżą na pewnej rozmaitości wymiaru prostopadłej do rozmaitości , to
,
w przeciwnym wypadku
.
gdzie są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio na prostą .

Dla a=1, b=1 jest to metryka rzeka, dla a=0, b=1 jest to metryka węzła kolejowego

Metryka dyskretna[edytuj]

 Osobny artykuł: przestrzeń dyskretna.

Metrykę dyskretną zwaną także metryką zero-jedynkową wprowadzić można w dowolnym niepustym zbiorze. Odległość punktów oraz zbioru określa wzór[3]

Parę z metryką nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną.

Porównanie metryk przytoczonych w przykładach[edytuj]

Dla metryki euklidesowa, Manhattan, szachowa pokrywają się. Jeżeli , to metryki szachowa i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

Topologia przestrzeni metrycznej[edytuj]

Przestrzeń metryczną łatwo jest przekształcić w przestrzeń topologiczną, definiując następująco topologię:

a) bazę topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci

gdzie - dowolny elementem przestrzeni , - promień kuli (),

b) podzbiór przestrzeni należy do topologii (czyli jest zbiorem otwartym), jeżeli jest sumą kul otwartych.

Taką topologię nazywa się topologią generowaną na zbiorzeprzez metrykę .

Metryzowalna przestrzeń topologiczna[edytuj]

 Osobny artykuł: Twierdzenia o metryzacji.

Przestrzeń topologiczną nazywamy przestrzenią metryzowalną, jeśli da się w niej wprowadzić topologię generowaną przez jakąś metrykę. Przykładami twierdzeń dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych są:

Z punktu widzenia topologii metryki służą badaniu przestrzeni metryzowalnych (analogicznie jak układy współrzędnych służą badaniu przestrzeni euklidesowych).

Własności przestrzeni metrycznych[edytuj]

1) Każda przestrzeń metryczna jest

2) Niektóre niezmienniki topologiczne są równoważne w przestrzeniach metrycznych:

Definicja odległości punktu od zbioru[edytuj]

 Osobny artykuł: metryka Hausdorffa.

Odległością (odstępem) punktu od zbioru nazywa się funkcję

Równoważność metryk[edytuj]

Definicja[edytuj]

Niech będą przestrzeniami metrycznymi.

Df. 1 Metryki nazywa się równoważnymi topologicznie, jeżeli granice dowolnych ciągów obliczone z użyciem tych metryk są identyczne.[4]

Df. 2 Metryki nazywa się równoważnymi lipschitzowsko, jeżeli istnieją stałe , takie że dla każdego spełniony jest warunek

Twierdzenia o metrykach równoważnych[edytuj]

Tw. 1 Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru jest zbieżny w sensie metryki , to jest także zbieżny w sensie metryki

Tw. 2 W rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie.

Tw. 3 Gdy dwie normy Banacha zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

Metryka niezmiennicza na przesunięcia[edytuj]

Metrykę nazywa się niezmienniczą ze względu na przesunięcia, jeśli na przestrzeni metrycznej określone jest działanie dodawania i dla dowolnych punktów zachodzi warunek

Uogólnienia[edytuj]

Rozpatruje się wiele funkcji spełniających podobne układy aksjomatów:

  • zastępując aksjomat identyczności nierozróżnialnych następującym
uzyskuje się tzw. pseudometrykę.
  • rezygnując z aksjomatu symetrii uzyskuje się quasi-metryką.
  • zastępując warunek trójkąta aksjomatem
uzyskuje się funkcję nazywaną ultrametryką.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Sur quelques points du calcul fonctionnel, Rendic. Circ. Mat. Palermo 22 (1906) 1–74
  2. Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, str.31.
  3. Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, str. 31.
  4. Kołodziej Witold: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 2009, str. 33.

Bibliografia[edytuj]