Przestrzeń polska

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń polskaośrodkowa przestrzeń topologiczna, która jest metryzowalna w sposób zupełny. Przestrzenie polskie badane są w topologii ogólnej i opisowej teorii mnogości. Nazwa pojęcia powstała dla uhonorowania wkładu polskiej szkoły matematycznej w rozwój tych dziedzin.

W pierwszej połowie XX wieku, przestrzenie polskie odgrywały istotną rolę w analizie funkcjonalnej i teorii miary, później były głównym obiektem zainteresowania w opisowej teorii mnogości, a w ostatnich latach są kluczowym elementem w badaniach borelowskich relacji równoważności oraz działań grup. W ostatnim zastosowaniu szczególną pozycję zajmują tzw. grupy polskie, czyli grupy topologiczne będące przy tym przestrzeniami polskimi.

Przestrzeń polską nazywa się doskonałą, jeżeli nie ma ona punktów izolowanych, czyli jednopunktowych zbiorów otwartych.

Należy mieć na uwadze, że przestrzeń polska nie jest definiowana jako ośrodkowa zupełna przestrzeń metryczna, aby wyróżnić topologię przestrzeni, a nie metrykę ją generującą.

Ponieważ głównym obiektem zainteresowania większości badań są doskonałe przestrzenie polskie, niektórzy autorzy używają terminu "przestrzeń polska" mając na myśli doskonałą przestrzeń polską. Należy więc uważnie zapoznać się z używaną przez autora terminologią.

Przykłady[edytuj]

  • Prosta rzeczywista i ogólniej każda z przestrzeni euklidesowych jest doskonałą przestrzenią polską.
  • Każda co najwyżej przeliczalna przestrzeń dyskretna jest przestrzenią polską.
  • Produkt kartezjański przeliczalnie wielu przestrzeni polskich jest z topologią produktową przestrzenią polską. W szczególności, zbiór Cantora i przestrzeń Baire'a , każda wyposażona w topologię produktu odpowiednich przestrzeni dyskretnych, są doskonałymi przestrzeniami polskimi.
  • Niech będzie przestrzenią wszystkich funkcji ciągłych z odcinka w zbiór liczb rzeczywistych . Wyposażmy w topologię zbieżności jednostajnej zadanej przez metrykę . Wówczas jest doskonałą przestrzenią polską.

Własności[edytuj]

  • Domknięta podprzestrzeń przestrzeni polskiej jest przestrzenią polską.
  • Przestrzenie polskie są przestrzeniami Baire'a: przekrój przeliczalnie wielu otwartych gęstych podzbiorów przestrzeni jest gęsty.
  • Aleksandrow udowodnił, że jeśli jest przestrzenią polską oraz jest jej podzbiorem typu Gδ, to (z topologią podprzestrzeni) też jest przestrzenią polską.
  • Wszystkie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne. Jeśli jest doskonałą przestrzenią polską, to istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna która jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich. (Wówczas również funkcja odwrotna jest mierzalna). W szczególności, każda doskonała przestrzeń polska jest mocy continuum.
  • Twierdzenie Kuratowskiego mówi że jeśli są doskonałymi przestrzeniami polskimi, to można wybrać takie ich borelowskie podzbiory pierwszej kategorii i , że przestrzenie i homeomorficzne.

Bibliografia[edytuj]

  1. Nicolas Bourbaki: General Topology. T. 2. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley Pub. Co., 1966, s. 195-199.

Zobacz też[edytuj]