Przestrzeń przeliczalnie zwarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Przestrzeń przeliczalnie zwartaprzestrzeń topologiczna analizowana w topologii ogólnej będąca uogólnieniem przestrzeni zwartej.

Pojęcie to zdefiniował w 1906 francuski matematyk Maurice'a Frécheta[1].

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią przeliczalnie zwartą, jeśli z dowolnego przeliczalnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie skończone.

Niektórzy autorzy[2]) wymagają dodatkowo, aby rozważana przestrzeń była T2.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przeliczalnie zwarta.
  • Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.
  • Jeśli X jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i f:X\longrightarrow {\mathbb R} jest funkcją ciągła, to obraz f(X) funkcji f jest ograniczonym zbiorem domkniętym (a zatem funkcja f osiąga swoje kresy).
  • Ciągły obraz przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
  • Jeśli X jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i Y jest przestrzenią zwartą, to X\times Y (z topologią Tichonowa) jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
  • Produkt dwóch przestrzeni przeliczalnie zwartych nie musi być przeliczalnie zwarty.
  • Przypuśćmy, że X jest przestrzenią Hausdorffa. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a) X jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
(b) Każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów X z własnością skończonych przekrojów ma niepusty przekrój.
(c) Każdy zstępujący ciąg F_0\supseteq F_1\supseteq F_2\supseteq\ldots niepustych domkniętych podzbiorów X ma niepusty przekrój.
(d) Każda lokalnie skończona rodzina podzbiorów X jest skończona.
(e) Każdy nieskończony podzbiór X ma punkt skupienia.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Maurice Fréchet; Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), 1-74.
  2. Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 202. ISBN 3-88538-006-4