Przestrzeń przeliczalnie zwarta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń przeliczalnie zwartaprzestrzeń topologiczna analizowana w topologii ogólnej będąca uogólnieniem przestrzeni zwartej.

Pojęcie to zdefiniował w 1906 francuski matematyk Maurice’a Frécheta[1].

Definicja[edytuj]

Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią przeliczalnie zwartą, jeśli z dowolnego przeliczalnego pokrycia otwartego tej przestrzeni można wybrać podpokrycie skończone.

Niektórzy autorzy[2]) wymagają dodatkowo, aby rozważana przestrzeń była T2.

Przykłady[edytuj]

  • Każda przestrzeń zwarta jest (oczywiście) przestrzenią przeliczalnie zwartą.
  • Niech zbiór wszystkich przeliczalnych liczb porządkowych będzie wyposażony w topologię generowaną przez przedziały (dla ) i zbiór jednopunktowy . Wówczas otrzymujemy przeliczalnie zwartą przestrzeń Hausdorffa, która nie jest zwarta.
  • Niech będzie uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni liczb naturalnych i niech . Wówczas (z topologią podprzestrzeni) jest przeliczalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa która nie jest zwarta.

Własności[edytuj]

  • Każda domknięta podprzestrzeń przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przeliczalnie zwarta.
  • Każda przeliczalnie zwarta przestrzeń Lindelöfa jest zwarta.
  • Jeśli jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i jest funkcją ciągła, to obraz funkcji jest ograniczonym zbiorem domkniętym (a zatem funkcja osiąga swoje kresy).
  • Ciągły obraz przestrzeni przeliczalnie zwartej jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
  • Jeśli jest przestrzenią przeliczalnie zwartą i jest przestrzenią zwartą, to (z topologią Tichonowa) jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
  • Produkt dwóch przestrzeni przeliczalnie zwartych nie musi być przeliczalnie zwarty.
  • Przypuśćmy, że jest przestrzenią Hausdorffa. Wówczas następujące warunki są równoważne:
(a) jest przestrzenią przeliczalnie zwartą.
(b) Każda przeliczalna rodzina domkniętych podzbiorów z własnością skończonych przekrojów ma niepusty przekrój.
(c) Każdy zstępujący ciąg niepustych domkniętych podzbiorów ma niepusty przekrój.
(d) Każda lokalnie skończona rodzina podzbiorów jest skończona.
(e) Każdy nieskończony podzbiór ma punkt skupienia.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Maurice Fréchet; Sur quelques points du calcul fonctionnel; Rend. del Circ. Mat. di Palermo, 22 (1906), 1-74.
  2. Engelking, Ryszard; General Topology; Helderman, Berlin, 1989. Strona 202. ISBN 3-88538-006-4