Przestrzeń regularna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Przestrzeń regularna i przestrzeń to terminy w topologii odnoszące się do tej samej lub bardzo pokrewnych własności oddzielania.

Definicje[edytuj]

Powiemy że w przestrzeni topologicznej punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte jeśli

dla każdego zbioru domkniętego i dowolnego punktu można znaleźć rozłączne zbiory otwarte takie że i :
Punkt x przedstawiony jako kropka po lewej stronie i zbiór domknięty F, przedstawiony jako zaczerniony dysk po prawej stronie są rozdzielone przez ich odpowiednie otoczenia otwarte U, V (przedstawione jako większe koła)

Czasami w sytuacji jak przedstawiona na rysunku powyżej mówi się, że punkt i zbiór domknięty są rozdzielone przez otoczenia otwarte .

Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią T1 w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte.

Dyskusja nazewnictwa[edytuj]

Istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń regularna i przestrzeń w literaturze. Na przykład Kuratowski w swojej monografii[1] definiuje

  • przestrzeń regularną jako przestrzeń topologiczną w której punkty mogą być oddzielane od zbiorów domkniętych przez zbiory otwarte, oraz
  • przestrzeń jako przestrzeń regularną która jest także przestrzenią T1.

Z drugiej strony Engelking definiuje[2]

  • bycie przestrzenią i bycie przestrzenią regularną jako tę samą własność (pokrywającą się z naszym znaczeniem przestrzeni regularnej).

Z powodu tych i podobnych rozbieżności, czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w danym artykule czy też książce. Wydaje się jednak że terminologia stosowana przez Engelkinga jest najbardziej popularna i my także będziemy się jej trzymać.

Przykłady[edytuj]

  • Większość naturalnych przykładów przestrzeni topologicznych jest . W szczególności przykładami takich przestrzeni są: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
  • Każda przestrzeń Tichonowa jest przestrzenią regularną, ale istnieją przestrzenie regularne które nie są . Na przykład rozważmy podzbiór płaszczyzny z kartezjańskim układem współrzędnych. Na zbiorze wprowadzamy topologię przez określenie bazy otoczeń w każdym punkcie :
    • jeśli , to ,
    • jeśli , to składa się ze wszystkich zbiorów postaci , gdzie jest zbiorem skończonym,
    • , gdzie .
Wtedy jest przestrzenią regularną, ale nie jest przestrzenią Tichonowa.
  • Istnieją przestrzenie które nie są . Rozważmy na przykład zbiór z topologią otrzymaną przez rozszerzenie naturalnej topologii na o zbiór . Wtedy jest przestrzenią Hausdorffa która nie jest regularna.

Własności[edytuj]

  • Przestrzeń topologiczna spełniająca warunek jest przestrzenią regularną wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego punktu i jego otoczenia otwartego (tak więc ) istnieje otoczenie punktu którego domknięcie jest zawarte w (tzn. ).
  • Każda regularna przestrzeń topologiczna która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią normalną.
  • Podzbiór przestrzeni traktowany jako przestrzeń topologiczna jest znów przestrzenią . Własność być przestrzenią jest więc własnością dziedziczną.
  • Iloczyn kartezjański (z topologią Tichonowa) przestrzeni jest przestrzenią .

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Kazimierz Kuratowski, Topology, Volume I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966, s. 52.
  2. Ryszard Engelking, General Topology, Helderman, Berlin 1989, s. 38, ISBN 3-88538-006-4.