To jest dobry artykuł

Przestrzeń sprzężona (analiza funkcjonalna)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Przestrzeń sprzężona (także dualna lub dwoista) – przestrzeń wszystkich ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na danej przestrzeni unormowanej lub, nieco ogólniej, przestrzeni liniowo-topologicznej. Przestrzeń sprzężoną do przestrzeni oznacza się często lub . Parę nazywa się parą dualną. Współczesna terminologia pochodzi od Bourbakiego[1]. W przeszłości były też używane nazwy: polarer Raum (niem., dosł. przestrzeń polarna/biegunowa) – Hans Hahn[2], transponierter Raum (niem., dosł. przestrzeń transponowana) / espace conjugué (fr., dosł. przestrzeń dołączona) – Juliusz Schauder[3], adjoint space (ang., dosł. przestrzeń dołączona) – Leonidas Alaoglu[4].

W kontekście analizy funkcjonalnej dla odróżnienia od przestrzeni sprzężonej algebraicznie, w której nie zakłada się ciągłości funkcjonałów, mówi się czasami o przestrzeni sprzężonej topologicznie. W skrajnych przypadkach przestrzeń sprzężona algebraicznie może mieć bogatą strukturę[a], podczas gdy sprzężona topologicznie może być trywialna. W klasie przestrzeni skończenie wymiarowych oba pojęcia pokrywają się.

Wyniki ogólnej teorii przestrzeni sprzężonych znajdują zastosowanie w wielu dziedzinach matematyki, np. w równaniach różniczkowych i całkowych, czy teorii aproksymacji. Przykładowo teoria dystrybucji zrodzona z potrzeb fizyki, zbudowana jest w oparciu o funkcjonały liniowe i ciągłe na pewnej przestrzeni liniowo-topologicznej (tzw. przestrzeni funkcji próbnych).

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią liniowo-topologiczną nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. Zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych

nazywa się przestrzenią sprzężoną do .

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  • Przestrzeń sprzężona jest przestrzenią liniową z działaniami określonymi punktowo, to znaczy jeśli , zaś jest skalarem, to
dla wszystkich .
  • W przypadku, gdy nie zakłada się o nic ponad bycie przestrzenią liniowo-topologiczną, jej przestrzeń sprzężona może być trywialna, tzn. może być złożona tylko z odwzorowania tożsamościowo równego zeru. Przykładem może być przestrzeń dla [5]. Innym przykładem mogą być przestrzenie Hardy’ego dla [6].
  • Postać przestrzeni sprzężonej do danej przestrzeni liniowo-topologicznej jest ściśle związana z ilością zbiorów wypukłych w samej przestrzeni. Następujące fakty (w tym pewien wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha) wiążą z wypukłymi podzbiorami .
    • Funkcjonały Minkowskiegopodliniowe (podaddytywne i dodatnio jednorodne). Funkcjonały zbalansowanych zbiorów Minkowskego są półnormami[7].
    • Wniosek z twierdzenia Hahna-Banacha: Jeżeli jest rzeczywistą lub zespoloną przestrzenią liniową, a półnormą na tej przestrzeni, to dla każdego punktu istnieje taki funkcjonał liniowy na przestrzeni , że i
    dla każdego elementu przestrzeni .
  • Zbalansowanym zbiorom wypukłym odpowiadają funkcjonały liniowe. Oznacza to w szczególności, że przestrzenie liniowo-topologiczne lokalnie wypukłe (a więc i przestrzenie unormowane) mają nietrywialne przestrzenie sprzężone.
  • Zwyczajowo funkcjonały traktuje się jako punkty przestrzeni sprzężonej, co znajduje odzwierciedlenie ich zapisie: analogicznie do pisze się często . Dodatkowo, ze względu na ich liniowość, pomija się zwykle nawiasy przy argumentach, zatem zamiast bądź pisze się po prostu lub . W dalszej części artykułu stosowane będą oznaczenia „z gwiazdką”.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni unormowanej[edytuj | edytuj kod]

W dalszej części artykułu X oznaczać będzie nietrywialną przestrzeń unormowaną nad ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych. W przestrzeni X* można w naturalny sposób wprowadzić normę: jest nią funkcjonał

.

O ile nie prowadzi to do nieporozumień, normę w przestrzeni X* często oznacza się tym samym symbolem, co normę w X. W przeciwnym przypadku przy jej symbolu umieszcza się w indeksie dolnym oznaczenie przestrzeni, w której rozpatrywana jest norma, np. .

dla .
  • Jeżeli przestrzeń X* jest ośrodkowa, to X też taka jest. Twierdzenie odwrotne jest fałszywe, mianowicie przestrzenią sprzężoną do (ośrodkowej) przestrzeni jest przestrzeń , która nie jest ośrodkowa.

Topologie w przestrzeni sprzężonej[edytuj | edytuj kod]

Jeśli jest topologią w przestrzeni liniowo-topologicznej , to symbolem oznacza się słabą topologię w , to znaczy najsłabszą topologię, względem której wszystkie odwzorowania z są ciągłe.

W przestrzeni można rozważać również topologię *-słabą, to znaczy najsłabszą topologię, względem której każde z odwzorowań

postaci

jest ciągłe. z topologią *-słabą jest przestrzenią lokalnie wypukłą.

Podsumowując, jeżeli jest przestrzenią unormowaną, to w przestrzeni można wprowadzić co najmniej trzy różne topologie:

  • mocną topologię , czyli topologię wyznaczoną przez normę w ,
  • słabą topologię ,
  • *-słabą topologię ,

Zachodzi między nimi następujący związek:

,

przy czym

wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią refleksywną (czyli gdy jest przestrzenią refleksywną). Równość ta jest konsekwencją jednego z fundamentalnych twierdzeń analizy funkcjonalnej – tzw. twierdzenia Banacha-Alaoglu. Równość topologii *-słabej i mocnej zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.

  • Niech będzie przestrzenią Banacha. Podzbiór przestrzeni jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo ograniczony.
  • Jeśli jest przestrzenią Banacha, to *-słabo zwarte podzbiory są ograniczone.
  • Jeśli jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to każdy niepusty *-słabo otwarty podzbiór jest nieograniczony. Co więcej, każde *-słabe (otwarte) otoczenie zera zawiera nieskończenie wymiarową podprzestrzeń liniową.
  • Topologia *-słaba jest metryzowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończenie wymiarowa.

Ograniczona topologia *-słaba[edytuj | edytuj kod]

Istnieje jeszcze jeden, w pewien sposób naturalny, rodzaj topologii wprowadzanej w przestrzeni – tzw. ograniczona topologia *-słaba zdefiniowana w roku 1950 przez Jeana Dieudonné[8].

Niech dla każdego oraz dla każdego ciągu punktów przestrzeni zbieżnego (w normie) do zera będzie dany zbiór

.

Rodzina zbiorów tej postaci tworzy bazę pewnej topologii w przestrzeni , którą nazywa się ograniczoną topologią *-słabą. Przestrzeń z tą topologią jest przestrzenią lokalnie wypukłą. Jeżeli symbol oznaczać będzie ograniczoną topologię *-słabą, to między wspomnianymi wcześniej topologiami zachodzi następujący związek:

.

Ograniczona topologia *-słaba oraz topologia *-słaba pokrywają się (w sensie topologii podprzestrzeni) na ograniczonych podzbiorach . Własność ta uzasadnia nazwę tego pojęcia. Natychmiastowym wnioskiem z tej obserwacji jest fakt, iż jeśli jest ograniczonym ciągiem punktów , to jest on zbieżny w sensie ograniczonej topologii *-słabej do pewnego punktu tej przestrzeni wtedy i tylko wtedy, gdy jest *-słabo zbieżny do .

Mimo, iż z topologią normy jest przestrzenią Banacha, to jednak poniższe twierdzenie dość dobrze ilustruje związek zupełności przestrzeni z topologią *-słabą jej przestrzeni sprzężonej:

Jeśli jest przestrzenią Banacha, to topologie: *-słaba i ograniczona *-słaba pokrywają się, to znaczy
.

Prawdziwe, jest też twierdzenie odwrotne, które można sformułować nieco inaczej:

Jeśli jest przestrzenią unormowaną, która nie jest przestrzenią Banacha, to
.

Twierdzenie Krejna-Szmuljana[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: twierdzenie Krejna-Szmuljana.

Przy okazji omawiania (ograniczonej) *-słabej topologii w przestrzeni sprzężonej wartym odnotowania jest twierdzenie Krejna-Szmuljana (nazywane czasem twierdzeniem Banacha-Krejna-Szmuljana) udowodnione w 1940 przez Marka Krejna i Witolda Lwowicza Šmuliana[9].

Niech X będzie przestrzenią Banacha oraz będzie kulą jednostkową w X*. Jeśli C jest wypukłym podzbiorem X*, to jest on *-słabo domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego t >0 zbiór

jest *-słabo domknięty.

Druga przestrzeń sprzeżona[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przestrzeń refleksywna.

Niech X będzie przestrzenią unormowaną. Przestrzeń X** jest przestrzenią Banacha niezależnie od tego czy X jest przestrzenią zupełną czy nie (zob. twierdzenie Banacha-Steinhausa), więc jako taka ma swoją przestrzeń sprzeżoną X** (analogicznie definiuje się trzecią przestrzeń sprzężoną X*** czy n-tą X(n)). Jeżeli B i B* oznaczają domknięte kule jednostkowe przestrzeni, odpowiednio, X i X*, to

przy czym druga z powyższych równości zachodzi na mocy twierdzenia o wydobywaniu normy (wniosku z twierdzenia Hahna-Banacha). Istnieje kanoniczne włożenie

dane wzorem

Izometryczność zanurzenia kanonicznego[edytuj | edytuj kod]

Dla wszystkich funkcjonałów f z X* i wszystkich elementów x z przestrzeni X zachodzi nierówność

,

więc odwzorowanie κX jest izometrią, gdyż dla każdego elementu x przestrzeni X spełniona jest równość:

Odwzorowanie κX nie musi być suriektywne. Przestrzenie Banacha dla których κX jest suriekcją nazywane są przestrzeniami refleksywnymi. Klasyczne twierdzenie Goldstine’a[10] mówi, że obraz kuli jednostkowej poprzez odwzorowanie κX jest gęstym podzbiorem kuli jednostkowej w X** w tzw. X*-topologii, tzn. topologii *-słabej w przestrzeni X**.

Przestrzenie Banacha o wspólnej przestrzeni sprzężonej[edytuj | edytuj kod]

Niezomorficzne przestrzenie Banacha mogą mieć izomorficzne (a nawet izometryczne) przestrzenie sprzężone. Dla przykładu, dla każdej pary różnych liczb porządkowych przestrzenie Banacha funkcji ciągłych

nie są izomorficzne (gdyż, na przykład, mają różny indeks Szlenka, który jest niezmiennikiem izomorficznym), jednak ich przestrzeń sprzężona jest izometryczna z przestrzenią ℓ1. Istnieją dziedzicznie nierozkładalne przestrzenie Banacha E o przestrzeni sprzężonej izometrycznej z ℓ1[11].

Istnieją także pary (E, F) przestrzeni Banacha, w których jedna jest ośrodkowa, a druga nieośrodkowa (nawet o gęstości continuum, których przestrzenie sprzężone są izometrycznie izomorficzne. Na przykład:

  • ,
  • ,

gdzie oznacza przestrzeń skonstruowaną przez R. C. Jamesa[12].

Reprezentacje elementów[edytuj | edytuj kod]

W przypadku wielu konkretnych przestrzeni, takich jak:

można opisać postać elementów ich przestrzeni sprzężonych i dokonać pewnych wygodnych utożsamień. Wiele z twierdzeń reprezentacyjnych tego typu nosi nazwisko Frigyesa Riesza.

Przestrzenie Hilberta[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie przestrzenią Hilberta. Dla każdego istnieje taki element , że

dla każdego .

Wynika stąd, że każda rzeczywista/zespolona przestrzeń Hilberta jest liniowo/antyliniowo izometrycznie izomorficzna z . Wynik ten ma zasadnicze znaczenie dla teorii przestrzeni Hilberta, a także znajduje zastosowanie, na przykład w mechanice kwantowej.

Przestrzenie funkcji ciągłych[edytuj | edytuj kod]

Istnieje wiele wariantów twierdzenia Riesza związanych z reprezentacją funkcjonałów liniowych i ciągłych na przestrzeniach funkcji ciągłych. Jednym z ogólniejszych przypadków jest twierdzenie reprezentacyjne dla przestrzeni funkcji ciągłych znikających w nieskończoności. Mówi się, że funkcja

,

gdzie jest przestrzenią lokalnie zwartą, znika w nieskończoności, gdy dla dowolnego istnieje taki zbiór zwarty , że

dla .

Przestrzeń funkcji ciągłych na przestrzeni lokalnie zwartej , znikających w nieskończoności tworzy przestrzeń Banacha, którą oznacza się symbolem .

Gdy jest przestrzenią zwartą, to każda określona na niej funkcja zespolona znika w nieskończoności. Z tej przyczyny często używa się, w tym przypadku, symbolu zamiast .

Twierdzenie Riesza[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie lokalnie zwartą przestrzenią Hausdorffa. Dla każdego istnieje dokładnie jedna przeliczalnie addytywna regularna zespolona miara borelowska taka, że

dla każdego . Ponadto

,

gdzie oznacza wahanie całkowite miary . Przez regularną miarę zespoloną rozumie się miarę zespoloną, której wahanie całkowite jest miarą regularną (w klasycznym sensie). Więcej na temat twierdzenia Riesza można znaleźć w pracy Williama Arvesona, Notes on measure and integration in locally compact spaces[13].

Wspomnianie wyżej twierdzenie Riesza-Markowa sformułowane jest w najogólniejszej i bardzo abstrakcyjnej postaci. W roku 1909[14][15] Riesz udowodnił to twierdzenie dla przedziałów domkniętych na prostej, tzn. gdy (wykazał on, że funkcjom ciągłym odpowiadają – w sposób niejednoznaczny – funkcje o ograniczonym wahaniu, które można wykorzystać do sformułowania tezy twierdzenia. Całka pojawiająca się w tezie była całką Stieltjesa względem właśnie takiej funkcji). Przypadek, gdy został udowodniony w roku 1913 przez Johanna Radona[16].

Stefan Banach udowodnił to twierdzenie dla zwartych przestrzeni metrycznych w roku 1937[17], a rok później Andriej Markow dla przestrzeni normalnych[18]. Kolejno w latach 1940 i 1941 dowody tego twierdzenia w przypadku przestrzeni całkowicie regularnych i przestrzeni zwartych podali A. D. Aleksandrow[19] i Shizuo Kakutani[20].

Do innych twierdzeń reprezentacyjnych tego typu należy, na przykład, twierdzenie Riesza-Skorochoda.

Przestrzenie c i c0[edytuj | edytuj kod]

Niech i oznaczają, odpowiednio, przestrzenie ciągów zbieżnych i ciągów zbieżnych do zera (z normą supremum). Wówczas przestrzenie i są izometrycznie izomorficzne z przestrzenią , tj. przestrzenią ciągów sumowalnych. Mówią o tym poniższe twierdzenia Riesza dla przestrzeni i .

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c0[edytuj | edytuj kod]

Jeśli , to istnieje dokładnie jeden ciąg taki, że

dla każdego . Z drugiej strony, odwzorowanie określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym i ciągłym.

Twierdzenie Riesza dla przestrzeni c[edytuj | edytuj kod]

Jeśli , to istnieje dokładnie jeden ciąg taki, że

,

dla każdego , gdzie jest granicą ciągu . Na odwrót, określone powyższym wzorem jest funkcjonałem liniowym ciągłym. Biorąc pod uwagę powyższe dwa twierdzenia wygodnie jest dokonać utożsamienia

.

Przestrzenie Lp[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: przestrzeń Lp.

Niech będzie σ-ciałem podzbiorów pewnego niepustego zbioru oraz niech będzie miarą σ-skończoną określoną na . Ponadto, niech będzie ustaloną liczbą z przedziału . Niech

oznacza przestrzeń zespolonych funkcji -mierzalnych, całkowalnych z p-tą potęgą. Jeżeli oraz jest miarą liczącą, to

,

skąd sformułowane niżej twierdzenie Riesza obejmuje także przypadek przestrzeni szeregów sumowalnych w p-tej potędze.

Twierdzenie Riesza[edytuj | edytuj kod]

Jeśli , to istnieje dokładnie jedna -mierzalna funkcja taka, że

dla każdego . Przy czym, gdy

  • , to oraz , gdzie ,
  • , to oraz .

Wnioskiem z twierdzenia Riesza jest fakt, że przestrzeń sprzężona do jest izometrycznie izomorficzna z , gdzie (przyjmując ewentualnie umowę, że – zob. wykładniki sprzężone). W związku wygodnie stosować utożsamienie, że

.

Wynik ten został zauważony i udowodniony po raz pierwszy przez Riesza w roku 1909[21] w przypadku, gdy jest przedziałem domkniętym na prostej z miarą Lebesgue’a oraz . Przypadek dla udowodnił, w roku 1919, Hugo Steinhaus[22].

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni ciągów ograniczonych[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli , tzn. jest ciągiem ograniczonym, to jego zbiór wartości jest zawarty w pewnej kuli domkniętej . Wówczas ciąg można utożsamiać z funkcją

.

Skoro jest przestrzenią dyskretną, a przestrzenią zwartą (por. twierdzenie Heinego-Borela), to jest funkcją ciągłą. Jeżeli jest uzwarceniem Čecha-Stone’a przestrzeni , to istnieje dokładnie jedno ciągłe przedłużenie funkcji na (postać nie zależy od wyboru kuli ). Innymi słowy, każdemu elementowi przestrzeni odpowiada pewien element przestrzeni . Odwzorowanie to jest wzajemnie jednoznaczne, ponieważ każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest ograniczona (zob. twierdzenie Weierstrassa o osiąganiu kresów), a więc jeśli , to również jest ograniczona, czyli

.

Co więcej, odwzorowanie to jest izometrią. Utożsamiając

można zastosować twierdzenie Riesza dla przestrzeni funkcji ciągłych, z którego wynika, że przestrzeń jest izometrycznie izomorficzna z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na .

W przypadku przestrzeni można uogólnić powyższą metodę szukania opisu zastępując uzwarcenie Čecha-Stone’a przestrzeni przestrzenią Stone’a algebry miary , to znaczy przestrzeni Stone’a ilorazowej algebry Boole’a

,

gdzie jest ideałem podzbiorów -miary zero zbioru . Wówczas można utożsamiać z przestrzenią regularnych, zespolonych miar borelowskich na .

Przestrzenie Sobolewa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: przestrzeń Sobolewa.

Przestrzeń sprzężona do przestrzeni Sobolewa dla jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią przestrzeni dystrybucji na o pewnych własnościach (podprzestrzeń ta jest wyposażona w normę związaną z normą w przestrzeni Sobolewa – przestrzeń dystrybucji nie jest przestrzenią normowalną).

Niech będzie otwartym podzbiorem przestrzeni oraz . Dodatkowo niech oznacza liczbę wszystkich wielowskaźników o długości (sumie) nie większej od , tzn.

oraz , czyli niech będzie produktem egzemplarzy przestrzeni . Przestrzeń ta jest przestrzenią Banacha z normą

.

Przestrzeń jest izometrycznie izomorficzna z podprzestrzenią dystrybucji na takich, że

,

dla pewnego i jest wykładnikiem sprzężonym do . Ponadto,

,

gdzie kres brany jest po wszystkich , dla których można przedstawić w powyższej postaci.

Istnieje jeszcze jeden sposób charakteryzacji przestrzeni dla . Mianowicie, przestrzeń można utożsamiać z uzupełnieniem przestrzeni wyposażonej w normę

,

tzn.

gdzie q jest wykładnikiem sprzężonym do p.

Refleksywność a własność Radona-Nikodýma przestrzeni sprzężonej[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Phillipsa mówi, że każda przestrzeń refleksywna ma własność Radona-Nikodýma. Istnieje ścisła zależność między refleksywnością przestrzeni sprzężonej (a więc w konsekwencji przestrzeni ) a posiadaniem przez nią własności Radona-Nikodýma. Zależność tę ilustruje poniższa tabela:

jest refleksywna jeśli: ma własność Radona-Nikodýma jeśli:
jest ściśle wypukła
jest gładka (ang. smooth) jest ściśle wypukła.
jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła jest gładka
jest silnie gładka (ang. very smooth) jest słabo lokalnie jednostajnie wypukła[23]
jest jednostajnie wypukła jest silnie gładka

gdzie przestrzeń nazywana jest

  • gładką, gdy dla każdego takiego elementu przestrzeni , że istnieje dokładnie jeden taki element przestrzeni , że oraz .
  • silnie gładką, gdy jest ona gładka oraz odwzorowanie takie jak w powyższej definicji jest ciągłe w sensie słabej topologii w .

Przypisy rzeczowe[edytuj | edytuj kod]

  1. Każda przestrzeń liniowa ma bazę (jest to równoważne aksjomatowi wyboru). Twierdzenie o przekształceniu liniowym zadanym na bazie mówi, że jeśli dana jest ustalona baza przestrzeni oraz jakkolwiek określona na niej funkcja o wartościach skalarnych, to można ją przedłużyć w sposób jednoznaczny do funkcjonału liniowego.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Nicolas Bourbaki. Sur les espaces de Banach. „Comptes Rendus de l'Académie des Sciences”. 206, s. 1701–1704, 1938. Paryż (fr.). 
  2. Hans Hahn. Über lineare Gleichungssysteme in linearen Räumen. „Journal für die reine und angewandte Mathematik”. 157, s. 214-229, 1927 (niem.). 
  3. Juliusz Schauder. Über lineare, vollstetige Funktionaloperationen. „Studia Mathematica”. 2, s. 183–196, 1930. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne (niem.). 
  4. Leonidas Alaoglu. Weak topologies of normed linear spaces. „Annals of Mathematics”. 41, s. 252–267, 1940. Princeton (ang.). 
  5. Joel H. Shapiro. Examples of proper, closed, weakly dense subspaces in nonlocally convex F-spaces. „Israel Journal of Mathematics”. 7, s. 369-380, 1969. Hebrew University Magnes Press (ang.). [dostęp 14.07.2009]. [zarchiwizowane z adresu]. 
  6. Nigel J. Kalton, Joel H. Shapiro. An F-space with trivial dual and nontrivial compact endomorphisms. „Israel Journal of Mathematics”. 20, s. 282-291, 1975. Hebrew University Magnes Press (ang.). [dostęp 14.07.2009]. [zarchiwizowane z adresu]. 
  7. Hermann Minkowski. Allgemeine Lehrsätze über die konvexe Polyeder. „Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-physikalische Klasse”, s. 198-219, 1897. Göttingen (niem.). 
  8. J. Dieudonne: Natural Homomorphisms in Banach Space. Proc. of the. Amer. Math. Soc., vol. 1. No. 1 (1950)
  9. Mark Krein, Witold Lwowicz Šmulian. On regularly convex sets in the space conjugate to a Banach space. „Annals of Mathematics”. 41, s. 556–583, 1940. Princeton (ang.). [dostęp 12 lipca 2009]. 
  10. Herman Goldstine: Weakly complete Banach spaces, Duke Math. J. 4 (1938), 125–131
  11. S. A. Argyros, R. G. Haydon, A hereditarily indecomposable -space that solves the scalar-plus-compact problem. Acta Mathematica 206 (2011), 1–54.
  12. R. C. James, A separable somewhat reflexive Banach space with nonsepa- rable dual, Bull. Amer. Math. Soc. 80 (1974), 738-743
  13. William Arveson: NOTES ON MEASURE AND INTEGRATION IN LOCALLY COMPACT SPACES (ang.). Department of Mathematics, University of California, Berkeley, USA, 25 marca 1996. [dostęp 11 lipca 2009].
  14. Frigyes Riesz: Sur les opérations fonctionnelles linéaires, C.R. Acad. Sci. Paris 149, 974–977
  15. Frigyes Riesz: Sur certains systémes singuliers d’équations intégrales, Ann. Sci. Ècole Norm. Sup. (3) 28, 33–62
  16. Johann Radon: Theorie und Anwendungen der Theorie der absolut additiven Mengenfunktionen, Sitzungsber. Kaiserl. (Österreich.) Akad. Wiss., Math.-Nat. Kl., Abteilung IIa, 122, 1295–1438
  17. Stefan Banach: The Lebesgue integral in abstract spaces. W: Stanisław Saks: Theory of the Integral. Wyd. 2. Warszawa: 1937, s. 320–330.
  18. Andriej Markow: On mean values and exterior densities, Mat. Sbornik 4, 165–190
  19. A. D. Alexandroff: Additive set-functions in abstract spaces, Mat. Sbornik 8, 307–348; 9, 563–628; 13, 169–238
  20. Shizuo Kakutani: Concrete representation of abstract (L)-spaces and the mean ergodic theorem, Ann. of Math. 42, 523–537
  21. Frigyes Riesz: Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen, Math. Ann. 69, 449–497.
  22. Hugo Steinhaus: Additive und stetige Funktionaloperationen, Math. Z. 5, 186–221
  23. J. Diestel, B. Faires, On vector measures, Transactions of the American Mathematical Society 198 (1974), 253-271

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]