Przestrzeń zerowymiarowa

Przestrzeń zerowymiarowa – przestrzeń topologiczna $(X,\tau ),$ która ma bazę złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych. Warunek ten jest równoważny stwierdzeniu, że przestrzeń $X$ ma wymiar ind zero.

Czasami rozważa się przestrzenie wymiaru 0 względem wymiarów $\operatorname {Ind}$ lub $\dim .$ Wówczas zwykle staramy się podkreślić, że chodzi o inne znaczenie zerowymiarowości niż podane powyżej (mówiąc np. że przestrzeń jest zerowymiarowa w sensie $\dim$).

Przykłady

Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami zerowymiarowymi:

• każda przestrzeń dyskretna,
• przestrzeń liczb wymiernych $\mathbb {Q}$ z topologią podprzestrzeni prostej rzeczywistej,
• przestrzeń Cantora $2^{\mathbb {N} }$ (która jest homeomorficzna z trójkowym zbiorem Cantora),
• przestrzeń Baire’a ${\mathcal {N}}$ (jest ona homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych),

przestrzeń Stone’a danej algebry Boole’a.

Własności

• Każda zerowymiarowa przestrzeń T₁ jest całkowicie regularna.
• Jedynymi spójnymi podzbiorami przestrzeni zerowymiarowej są zbiory jednopunktowe i zbiór pusty.
• Podprzestrzeń przestrzeni zerowymiarowej jest zerowymiarowa.
• Jeśli $X,Y$ są przestrzeniami topologicznymi, $X$ jest zerowymiarowa, $f\colon X\to Y$ jest funkcją ciągłą, która jest także odwzorowaniem otwartym i domkniętym, to $f(X)$ jest przestrzenią zerowymiarową.
• Każda zerowymiarowa przestrzeń $T_{1}$ jest homeomorficzna z podzbiorem kostki Cantora $2^{I}$ (dla pewnego zbioru indeksów $I$).
• Jeśli $X$ jest przestrzenią metryczną z bazą przeliczalną, to następujące warunki są równoważne:

• $X$ jest przestrzenią zerowymiarową (w sensie $\operatorname {ind}$),
• $\operatorname {Ind} X=0,$
• $\dim X=0.$

• Każda przestrzeń $X\in T_{1},$ która ma wymiar $\dim X=0$ lub wymiar $\operatorname {Ind} X=0$ jest zerowymiarowa (w sensie $\operatorname {ind}$).

Zobacz też

• aksjomaty oddzielania
• topologia