Przestrzenie T5 i T6
Przestrzeń i przestrzeń – terminy w topologii odnoszące się do jednych z najsilniejszych aksjomatów oddzielania.
Definicje
[edytuj | edytuj kod]Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią dziedzicznie normalną (albo całkowicie normalną albo ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią T4 w której każda podprzestrzeń jest normalna.
Przestrzeń topologiczna jest przestrzenią doskonale normalną (albo ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest przestrzenią T4 w której każdy domknięty podzbiór jest przekrojem przeliczalnej rodziny zbiorów otwartych.
Nazewnictwo
[edytuj | edytuj kod]Tak jak w przypadku przestrzeni regularnych, Tichonowa czy też normalnych, istnieją pewne niekonsekwencje w użyciu terminów przestrzeń dziedzicznie/całkowicie normalna i przestrzeń oraz przestrzeń doskonale normalna i przestrzeń . Źródłem różnic jest zakładanie (bądź nie) aksjomatu T1. W tym artykule obowiązuje terminologia ustalona w monografii Engelkinga[1] – zakładamy, że rozważane przestrzenie są przestrzeniami
Czytelnik literatury topologicznej powinien zawsze upewnić się co do znaczenia terminów stosowanych w przez autorów.
Przykłady
[edytuj | edytuj kod]- Następujące przestrzenie topologiczne są przestrzeniami doskonale normalnymi: przestrzeń liczb rzeczywistych z naturalną topologią, przestrzenie euklidesowe i ogólniej przestrzenie metryczne.
- Każda regularna przestrzeń topologiczna która jest przeliczalna lub spełnia drugi aksjomat przeliczalności jest także przestrzenią doskonale normalną.
- Istnieją przestrzenie całkowicie normalne które nie są doskonale normalne. Rozważmy na przykład zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z topologią zawierającą wszystkie zbiory takie że jest skończone lub lub Wtedy jest przestrzenią ale nie
- Istnieją przestrzenie T6, które nie są metryzowalne. Na przykład topologia na wprowadzona przez bazę nie jest metryzowalna ani nie spełnia drugiego aksjomatu przeliczalności.
- Pod założeniem ZFC + „istnieje zbiór Łuzina na prostej” można podać przykład doskonale normalnej, dziedzicznie ośrodkowej rozmaitości, która nie jest metryzowalna[2]. Konstrukcja tego typu przestrzeni wymaga założenia aksjomatów spoza ZFC[3].
Własności
[edytuj | edytuj kod]- Każda przestrzeń doskonale normalna jest całkowicie normalna.
- Obraz przestrzeni doskonale normalnej przez (ciągłe) odwzorowanie domknięte jest przestrzenią doskonale normalną.
- Podprzestrzeń przestrzeni doskonale normalnej jest doskonale normalna i tak samo dla przestrzeni dziedzicznie normalnych (czyli własności być przestrzenią doskonale normalną i być przestrzenią dziedzicznie normalną są własnościami dziedzicznymi).
- Następujące Twierdzenie Wedenisowa jest często podawane jako uzasadnienie że własność jest własnością oddzielania:
- Przestrzeń T1 jest doskonale normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary rozłącznych domkniętych zbiorów istnieje funkcja ciągła taka, że i
- Następujące twierdzenie jest często podawane jako uzasadnienie, że własność jest własnością oddzielania:
- Przestrzeń T1 jest dziedzicznie normalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej pary zbiorów takich że istnieją zbiory otwarte takie że i
Zobacz też
[edytuj | edytuj kod]Przypisy
[edytuj | edytuj kod]- ↑ Ryszard Engelking, General Topology, Helderman, Berlin 1989, ISBN 3-88538-006-4, s. 45, 68, 69.
- ↑ Z. Balogh, G. Gruenhage, Two more perfectly normal non-metrizable manifolds, Volume 151, Issues 1–3, 1 June 2005, s. 260–272. [1].
- ↑ Rudin M.E., The undecidability of the existence of a perfectly normal nonmetrizable manifold, Houston J. Math. 5 (1979), s. 249–252.