Przestrzeń metryczna

Przestrzeń metryczna – zbiór z zadaną na nim metryką, tj. funkcją, która określa odległość między każdą parą elementów tego zbioru.

Przestrzenie metryczne tworzą najogólniejszą klasę zbiorów, w których używa się pojęcia odległości wzorowanej na odległości znanej z przestrzeni euklidesowych (prostej, płaszczyzny czy przestrzeni trójwymiarowej).

Wprowadzone zostały przez Maurice’a Frécheta.

Definicja metryki

Niech $X$ oznacza dowolny niepusty zbiór. Metryką w zbiorze $X$ nazywa się funkcję

$d\colon X\times X\to [0,+\infty ),$

która dla dowolnych elementów $a,b,c$ tego zbioru spełnia warunki:

1. identyczność nierozróżnialnych

   $d(a,b)=0\iff a=b,$

2. symetria

   $d(a,b)=d(b,a),$

3. nierówność trójkąta

   $d(a,b)\leqslant d(a,c)+d(c,b).$

Gdy $d$ jest metryką w zbiorze $X,$ to parę $(X,d)$ nazywa się przestrzenią metryczną,

• elementy zbioru $X$ nazywa się punktami,
• liczbę $d(a,b)$ nazywa się odległością punktu $a$ od punktu $b.$

Uwaga 1.

Niekiedy pomija się warunek nieujemności $d(a,b)\geqslant 0$ przyjmując $d\colon X\times X\to \mathbb {R}$ zamiast $d\colon X\times X\to [0,+\infty ).$

Wynika on bowiem z wypisanych wyżej aksjomatów:

$0=d(a,a)\leqslant d(a,b)+d(b,a)=2\cdot d(a,b).$

Uwaga 2.

Można wyeliminować aksjomat symetrii, gdy zastąpi się warunek trójkąta warunkiem:

$d(a,b)\leqslant d(a,c)+d(b,c).$

Dowód:

1) Przyjmując w powyższym warunku $c=a$ dostaniemy:

$d(a,b)\leqslant d(a,a)+d(b,a)=d(b,a).$

2) Zamieniając w powyższym warunku $a$ i $b$ oraz przyjmując $c=b$ dostaniemy:

$d(b,a)\leqslant d(b,b)+d(a,b)=d(a,b).$

3) Z powyższych dwóch nierówności wynika: $d(a,b)=d(b,a),$ c.n.d.

Metryki w przestrzeni liniowej

W przestrzeni liniowej (np. euklidesowej, unormowanej, unitarnej) można wprowadzić różnie zdefiniowane metryki. W wyniku tego przestrzeń nabywa dodatkowej struktury – powstaje przestrzeń metryczna. W poniższych przykładach $\mathbf {x} =(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})$ oraz $\mathbf {y} =(y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})$ oznaczają elementy przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}.$

Metryka euklidesowa

Metrykę euklidesową w przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ definiuje się wzorem

$d_{e}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {(y_{1}-x_{1})^{2}+\ldots +(y_{n}-x_{n})^{2}}},$

tzn. jako pierwiastek euklidesowego iloczynu skalarnego różnicy dwóch wektorów przez siebie:

$d_{e}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )={\sqrt {\langle \mathbf {y} -\mathbf {x} ,\mathbf {y} -\mathbf {x} \rangle }}.$

W przypadku jednowymiarowym powyższy wzór redukuje się do wartości bezwzględnej różnic współrzędnych punktów $\mathbf {x} =(x_{1})$ oraz $\mathbf {y} =(y_{1})$

$d_{e}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=|y_{1}-x_{1}|.$

Metryka generowana przez normę

Jeżeli $(X,\|\cdot \|)$ jest przestrzenią unormowaną, to jako odległość (metrykę) punktów $\mathbf {x} ,\mathbf {y}$ można przyjąć długość (normę) wektora, będącego różnicą wektorów $\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,$ tj.

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|$ dla $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in X$

Metryka ta jest uogólnieniem metryki euklidesowej. Np. metrykami są funkcje postaci

$\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|_{p}={\big (}|x_{1}-y_{1}|^{p}+|x_{2}-y_{2}|^{p}+\ldots +|x_{n}-y_{n}|^{p}{\big )}^{1/p},$

gdzie $1\leqslant p<\infty .$ Metryka $\|\cdot \|_{2}$ jest metryką euklidesową i oznacza się ją symbolem $|\cdot |.$

Metrykę, którą definiuje się w oparciu o normę przestrzeni, nazywa się metryką generowaną przez normę.

Metryka maksimum

	a	b	c	d	e	f	g	h
8									8
7									7
6									6
5									5
4									4
3									3
2									2
1									1
	a	b	c	d	e	f	g	h

Metryka maksimum zwana także metryką nieskończoność, maksimum, Czebyszewa, szachową jest określona w przestrzeni $\mathbb {R} ^{n}$ za pomocą wzoru

$d_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\max _{k=1,\dots ,n}~|x_{k}-y_{k}|$

– odległość ta jest de facto metryką generowaną przez normę maksimum zadaną wzorem

$\|\mathbf {x} \|_{\infty }=\max {\big \{}|x_{i}|:i=1,\dots ,n{\big \}}.$

Kula w tej metryce jest kostką n-wymiarową.

Łatwo sprawdzić, że w grze w szachy minimalna liczba ruchów, jakie musi wykonać król, aby przejść z pewnego pola na inne określona jest tą metryką (na rysunku obok pokazano możliwe ruchy króla z danego pola).

Metryka węzła kolejowego

Metryka węzła kolejowego zwana także metryką centrum, kolejową, metra paryskiego może być zdefiniowana na płaszczyźnie.

Niech $O$ będzie pewnym ustalonym punktem na płaszczyźnie. Odległość dwóch punktów $A,B$ w tej metryce wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej przechodzącej przez punkt $O,$ to

$d_{k}(A,B)=d_{e}(A,B),$

w przeciwnym wypadku

$d_{k}(A,B)=d_{e}(A,O)+d_{e}(O,B).$

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń $\mathbb {R} ^{n},$ w której ustalono pewien jej punkt $O.$

Metrykę powyższą można też zastosować do labiryntu, w którym wszystkie korytarze są prostymi rozchodzącymi się gwiaździście od jednego punktu $O.$ Przejście z jednego korytarza do drugiego wymaga dotarcia do skrzyżowania (centrum), aby możliwe było skręcenie w docelowy korytarz. Długość pokonanej trasy odpowiada odległości wyliczonej w tej metryce.

Metryka rzeka

Odległość w metryce rzeka.

Niech $r$ będzie ustaloną prostą na płaszczyźnie. Odległość $d_{r}(A,B)$ punktów $A,B$ w metryce rzece wyznacza się następująco:

Jeżeli punkty leżą na prostej prostopadłej do prostej $r,$ to

$d_{r}(A,B)=d_{e}(A,B),$

w przeciwnym wypadku

$d_{r}(A,B)=d_{e}(A,C_{1})+d_{e}(C_{1},C_{2})+d_{e}(C_{2},B).$

gdzie $C_{1},C_{2}$ są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio $A,B$ na prostą $r.$

Metrykę tę można uogólnić na przestrzeń $\mathbb {R} ^{n},$ w której ustalono pewną jej prostą $r.$

Metrykę tą można zastosować np. do mierzenia trasy pokonanej drogą wodną w sieci złożonej z rzeki i licznych, prostopadłych jej dopływów (por. rysunek).

Uogólniona metryka rzeka

Dalsze uogólnienie tej i poprzedniej metryki w $\mathbb {R} ^{n}$ można uzyskać przyjmując zamiast punktu i prostej rozmaitość liniową $\mathbb {r}$ wymiaru a spełniającego $0\leqslant a<n.$ Niech ponadto $0<b<n,$ przy czym $a+b\leqslant n.$

Jeżeli punkty $A,B$ leżą na pewnej rozmaitości wymiaru $b$ prostopadłej do rozmaitości $r,$ to

$d_{r}(A,B)=d_{e}(A,B),$

w przeciwnym wypadku

$d_{r}(A,B)=d_{e}(A,C_{1})+d_{e}(C_{1},C_{2})+d_{e}(C_{2},B).$

gdzie $C_{1},C_{2}$ są rzutami prostopadłymi punktów odpowiednio $A,B$ na prostą $r.$

Dla a=1, b=1 jest to metryka rzeka, dla a=0, b=1 jest to metryka węzła kolejowego.

Metryka dyskretna

Metrykę dyskretną zwaną także metryką zero-jedynkową wprowadzić można w dowolnym niepustym zbiorze. Odległość $d_{d}(x,y)$ punktów $x$ oraz $y$ zbioru $X$ określa wzór

$d_{d}(x,y)={\begin{cases}0,&{\text{gdy }}x=y,\\1,&{\text{gdy }}x\neq y.\end{cases}}$

Parę $X$ z metryką $d_{d}$ nazywa się przestrzenią metryczną dyskretną.

Porównanie metryk przytoczonych w przykładach

Dla $n=1$ metryki euklidesowa, Manhattan, szachowa pokrywają się. Jeżeli $n=2,$ to metryki szachowa i Manhattan nie pokrywają się, ale czynią z płaszczyzny przestrzenie izometryczne (tzn. izomorficzne metrycznie, czyli nierozróżnialne metrycznie), gdyż w obu przypadkach kulami są kwadraty z przestrzeni euklidesowej, ale o różnym położeniu (odpowiednio o bokach równoległych do osi oraz obróconych względem osi o 45°).

Metryka w przestrzeniach pseudoriemannowskich

Powierzchnia sfery, elipsoidy obrotowej, hiperboloidy obrotowej, czy też 4-wymiarowa czasoprzestrzeń opisywana w ogólnej teorii względności są przykładami przestrzeni nieeuklidesowych, które określa się jako rozmaitości riemannowskie i najogólniejsze – rozmaitości pseudoriemannowskie.

Nie da się w ogólnym przypadku wprowadzić tu metryki opisanej prostym wzorem, tak jak w przestrzeniach liniowych, np. w przestrzeni euklidesowej. Podstawową rolę gra tu tensor metryczny.

Niech $M$ będzie rozmaitością wymiaru $n$ i niech dany będzie układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne krzywoliniowe $\mathbf {x} =(x^{1},\dots ,x^{n}).$

Odległość infinitezymalna

Tensor metryczny definiuje infinitezymalne odległości między punktami: długość wektora $d\mathbf {x} =(dx^{1},\dots ,dx^{n})$ łączącego punkt $\mathbf {x}$ z infinitezymalnie odległym punktem $\mathbf {y} =\mathbf {x} +d\mathbf {x}$ zadana jest wzorem

$|d\mathbf {x} |={\sqrt {{\Bigg |}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\mathbf {x} )dx^{i}dx^{j}{\Bigg |}}}$

gdzie:

$g_{ij}(\mathbf {x} ),i,j=1,\dots ,n$

– współrzędne tensora metrycznego (będące funkcjami położenia $\mathbf {x}$)

Odległość dowolnych punktów

Dla punktów $\mathbf {x,y}$ rozmaitości $M$ dowolnie odległych metrykę definiuje się jako kres dolny zbioru, zawierającego długości krzywych $\gamma$ ciągłych i różniczkowalnych, łączących punkty $\mathbf {x,y} ,$ czyli

$d(\mathbf {x,y} )=\inf \,\{\,L(\gamma ),\gamma \in M\,,\gamma (a)=\mathbf {x} ,\gamma (b)=\mathbf {y} \}$

gdzie:

• $\inf \,\{\dots \}$ = infimum = kres dolny zbioru
• $L(\gamma )=\int \limits _{a}^{b}{\sqrt {{\Bigg |}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t)){\frac {d\gamma ^{i}(t)}{dt}}{\frac {d\gamma ^{j}(t)}{dt}}{\Bigg |}}}\,dt$ – długość krzywej $\gamma$

przy czym krzywa $\gamma$ dana jest przez $n$ równań parametrycznych

$\gamma (t)=[\gamma ^{1}(t),\dots ,\gamma ^{n}(t)],$ $t\in \langle a,b\rangle$

oraz

$\gamma (a)=\mathbf {x} ,\,\,\gamma (b)=\mathbf {y}$

Dla przestrzeni riemannowskich odległość punktów jest wyznaczona przez łuk krzywej geodezyjnej. Dla sfery będzie to łuk koła wielkiego, na którym leżą dwa punkty. A np. dla czasoprzestrzeni, która jest 4-wymiarową przestrzenią pseudoriemannowską, odległość może być zerowa, jeśli łączy dwa punkty – tzw. zdarzenia czasoprzestrzenne – które są związane z rozchodzeniem się sygnału świetlnego.

Topologia przestrzeni metrycznej

Przestrzeń metryczną $X$ łatwo jest przekształcić w przestrzeń topologiczną, definiując następująco topologię:

a) bazę topologii stanowi rodzina wszystkich kul otwartych, tj. zbiorów postaci

$B(x,r)=\{y\in X:d\,(x,y)<r\},$

gdzie $x$ – dowolny elementem przestrzeni $X,$ $r$ – promień kuli $(r>0),$

b) podzbiór $U$ przestrzeni $X$ należy do topologii (czyli jest zbiorem otwartym), jeżeli jest sumą kul otwartych.

Taką topologię nazywa się topologią generowaną na zbiorze $X$ przez metrykę $d.$

Metryzowalna przestrzeń topologiczna

Przestrzeń topologiczną $(X,\tau )$ nazywamy przestrzenią metryzowalną, jeśli da się w niej wprowadzić topologię generowaną przez jakąś metrykę. Przykładami twierdzeń dotyczących metryzacji przestrzeni topologicznych są:

• twierdzenie Nagaty-Smirnowa,
• twierdzenie Binga.

Z punktu widzenia topologii metryki służą badaniu przestrzeni metryzowalnych (analogicznie jak układy współrzędnych służą badaniu przestrzeni euklidesowych).

Własności przestrzeni metrycznych

Tw. 1 Każda przestrzeń metryczna jest

• parazwarta,
• doskonale normalna,
• Hausdorffa,
• spełnia pierwszy aksjomat przeliczalności.

Tw. 2 Poniższe niezmienniki topologiczne są równoważne w przestrzeniach metrycznych:

• drugi aksjomat przeliczalności, ośrodkowość, własność Lindelöfa,
• zwartość, ciągowa zwartość, przeliczalna zwartość.

Definicja odległości punktu od zbioru

Odległością (odstępem) punktu $x$ od zbioru $A$ nazywa się funkcję

$\delta _{A}(x)=\inf {\big \{}d(x,a):a\in A{\big \}}.$

Równoważność metryk

Definicja

Niech $(X,d_{1}),(X,d_{2})$ będą przestrzeniami metrycznymi.

Df. 1 Metryki $d_{1},d_{2}$ nazywa się równoważnymi topologicznie, jeżeli granice dowolnych ciągów obliczone z użyciem tych metryk są identyczne.

Df. 2 Metryki $d_{1},d_{2}$ nazywa się równoważnymi lipschitzowsko, jeżeli istnieją stałe $c,\,C\,>0,$ takie że dla każdego $x,y\in X$ spełniony jest warunek

$c\cdot d_{1}(x,y)\leqslant d_{2}(x,y)\leqslant C\cdot d_{1}(x,y).$

Twierdzenia o metrykach równoważnych

Tw. 1 Metryki równoważne lipschitzowsko są równoważne topologicznie: jeśli pewien ciąg elementów zbioru $X$ jest zbieżny w sensie metryki $d_{1},$ to jest także zbieżny w sensie metryki $d_{2}.$

Tw. 2 W rzeczywistej przestrzeni liniowej skończonego wymiaru wszystkie metryki indukowane przez normy Banacha są równoważne lipschitzowsko, a więc i topologicznie.

Tw. 3 Gdy dwie normy Banacha zdefiniowane na tej samej przestrzeni liniowej są topologicznie równoważne, to są one także równoważne lipschitzowsko.

Metryka niezmiennicza na przesunięcia

Metrykę $d$ nazywa się niezmienniczą ze względu na przesunięcia, jeśli na przestrzeni metrycznej $X$ określone jest działanie dodawania $+\colon X\times X\to X$ i dla dowolnych punktów $a,x,y\in X$ zachodzi warunek

$d(x,y)=d(x+a,y+a).$

Uogólnienia

Rozpatruje się wiele funkcji spełniających podobne układy aksjomatów:

• zastępując aksjomat identyczności nierozróżnialnych następującym

$d(a,a)=0$

uzyskuje się tzw. pseudometrykę.

• rezygnując z aksjomatu symetrii uzyskuje się quasi-metrykę
• zastępując warunek trójkąta aksjomatem

$d(a,b)\leqslant \max {\big \{}d(a,c),d(c,b){\big \}}$ uzyskuje się funkcję nazywaną ultrametryką.

Zobacz też

Inne typy metryk:

• metryka euklidesowa
• metryka pomiarowa
• metryka probabilistyczna
• metryka riemannowska
• metryka Czebyszewa
• metryka Friedmana-Lemaître’a-Robertsona-Walkera
• metryka Hausdorffa
• metryka Mahalanobisa
• metryka Minkowskiego
• metryka Schwarzschilda

Pseudometryki:

• pseudometryka pseudoriemannowska

Przestrzenie metryzowalne:

• przestrzeń topologiczna
• przestrzeń unormowana
• przestrzeń pseudometryczna

Bibliografia

• Witold Kołodziej, Analiza matematyczna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2009.

Literatura dodatkowa

Polskojęzyczna

• Wacław Sierpiński: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1965, s. 131.
• Ryszard Engelking: Topologia ogólna. Warszawa: PWN, 1975.brak strony w książce
• Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. drugie, zmienione. Warszawa: PWN, 1962.brak strony w książce

Anglojęzyczna

• Athanase Papadopoulos, Metric Spaces, Convexity and Nonpositive Curvature, European Mathematical Society, 2004, ISBN 978-3-03719-010-4.

Linki zewnętrzne

• MichałM. Krych MichałM., Przestrzeń metryczna, [w:] pismo „Delta”, deltami.edu.pl, kwiecień 2019, ISSN 0137-3005 [dostęp 2022-07-19]  (pol.).
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Metric Space, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-10-10].
• Metric space (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-10-10].