Przykłady grup

Jest to spis przykładowych grup w sensie matematycznym, pochodzących z różnych działów matematyki, zarówno elementarnej, jak i wyższej. Przykładów grup dostarczają między innymi teoria mnogości, arytmetyka, algebra i geometria.

Grupy z dodawaniem

W tych grupach działaniem jest dodawanie:

liczby całkowite^[1] $\mathbb {Z} ;$ $\mathbb {Z} ;$
- liczby parzyste lub dowolny zbiór wielokrotności ustalonej liczby całkowitej^[2] $n\mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} ;$
- w szczególności zero z dodawaniem to przykład grupy trywialnej^[3];
liczby wymierne^[2] $\mathbb {Q} ;$
liczby rzeczywiste^[2] $\mathbb {R} ;$ $\mathbb {R} ;$
- liczby rzeczywiste postaci $a+b{\sqrt {2}}$ , gdzie liczby $a,b$ są wymierne^[4]: $a,b\in \mathbb {Q} ;$
liczby zespolone^[2] $\mathbb {C} ;$
liczby całkowite modulo dowolna liczba całkowita dodatnia^[5] $\mathbb {Z} _{n},n\in \mathbb {Z} _{+};$
liczby rzeczywiste modulo 1 $(\mathbb {R} /(1))$ – przedział $[0;1)$ z działaniem^[6]:

a\oplus b={\begin{cases}a+b&{\text{dla }}a+b<1\\a+b-1&{\text{dla }}a+b\geqslant 1;\end{cases}}

analogiczny zbiór liczb rzeczywistych modulo dowolna liczba rzeczywista dodatnia^[7]: $\mathbb {R} /(d),d\in \mathbb {R} _{+};$ $\mathbb {R} /(d),d\in \mathbb {R} _{+};$
- analogiczny zbiór liczb wymiernych modulo dowolna liczba wymierna dodatnia^[7]: $\mathbb {Q} /(d),d\in \mathbb {Q} _{+};$
potęgi kartezjańskie powyższych zbiorów – zbiory krotek złożonych z ich elementów, np. $\mathbb {Z} ^{n}=\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \times ...\times \mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} ^{n},\ \mathbb {R} ^{n},\ \mathbb {C} ^{n}$ itd., z dodawaniem odpowiednich elementów^[7]:

(a_{i})_{i=1}^{n}+(b_{i})_{i=1}^{n}=(a_{i}+b_{i})_{i=1}^{n}.

Niektóre z nich są nazywane przestrzeniami współrzędnych, a

\mathbb {R} ^{n}

wektory na prostej, płaszczyźnie lub w dowolnej innej przestrzeni euklidesowej^[7];
zbiory wielomianów o współczynnikach z powyższych grup: $\mathbb {Z} [X],\ \mathbb {Q} [X],\ \mathbb {R} [X],\ \mathbb {C} [X]$ itp.^[9]

Takie grupy bywają zaliczane do addytywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

W poniższych grupach działaniem jest mnożenie liczb:

niezerowe liczby wymierne^[9] $\mathbb {Q} _{\neq 0};$ $\mathbb {Q} _{\neq 0};$
- jedynka i minus jedynka^[2] $\{1,-1\};$
- dodatnie liczby wymierne^[5] $\mathbb {Q} _{+};$
- jedynka z mnożeniem to inny przykład grupy trywialnej^[3];
niezerowe liczby rzeczywiste^[2] $\mathbb {R} _{\neq 0};$ $\mathbb {R} _{\neq 0};$
- dodatnie liczby rzeczywiste^[2] $\mathbb {R} _{+};$
- liczby rzeczywiste postaci $a+b{\sqrt {2}}$ , gdzie liczby $a,b$ są wymierne i nie są jednocześnie zerowe: $a,b\in \mathbb {Q} ,(a,b)\neq (0,0)$ ^[10];
niezerowe liczby zespolone^[2] $\mathbb {C} _{\neq 0};$ $\mathbb {C} _{\neq 0};$
- liczby zespolone o module jednostkowym^[2] – grupa okręgu $\mathbb {C} _{1};$
- pierwiastki algebraiczne ustalonego stopnia z jedynki^[11]: $\mathbb {E} _{n}=\{z\in \mathbb {C} :z^{n}=1\}.$

Takie grupy bywają zaliczane do multiplikatywnych, ale nie zawsze, ponieważ ten termin ma też inne znaczenia, opisane w odpowiednim artykule.

W ich przypadku działaniem jest złożenie funkcji:

grupy bijekcji – zbiór wzajemnie jednoznacznych przekształceń zbioru w siebie, czasem też nazywany grupą symetryczną^[13] $S_{X};$ $S_{X};$
- grupy permutacji – bijekcji zbioru skończonego w siebie^[14] $S_{n};$
- grupy alternujące – permutacji parzystych ustalonego zbioru^[15] $A_{n};$
- funkcja tożsamościowa na dowolnym zbiorze $id(x)=x$ to inny przykład grupy trywialnej^[3];
rzeczywiste funkcje liniowe^[16]: $f(x)=ax+b,\ a,b\in \mathbb {R} ;$
rzeczywiste homografie^[17]: $f(x)={\frac {ax+b}{cx+d}},\ a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\ ad-bc\neq 0;$
grupy diedralne – wszystkich izometrii własnych wielokąta foremnego^[18].

macierze odwracalne (nieosobliwe) elementów ustalonego ciała^[19] – taka grupa to jedno ze znaczeń terminu pełna grupa liniowa^[20];
macierze kwadratowe postaci^[21]: ${\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {R} ;$
macierze kwadratowe postaci^[17]: ${\begin{bmatrix}(-1)^{a}&a\\0&(-1)^{a}\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {Z} ;$
macierze kwadratowe postaci^[16]: ${\begin{bmatrix}1&0&a\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ a\in \mathbb {C} .$

Grupy są też tworzone przez działania inne niż dodawanie, mnożenie liczb czy złożenie funkcji, choć te inne działania też bywają nazywane sumą:

liczby całkowite $\mathbb {Z}$ z działaniem^[21]: $a\oplus b=(-1)^{a}a+(-1)^{b}b;$
przedział otwarty $(1;+\infty )$ z działaniem^[22]: $a*b=ab-a-b+2;$
podzbiory ustalonego zbioru – czyli zbiór potęgowy – z działaniem różnicy symetrycznej^[23]^[17] $({\mathcal {P}}(X),\Delta ).$

Maciej Bryński, Jerzy Jurkiewicz: Zbiór zadań z algebry. Wyd. III. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985. ISBN 83-01-06575-3.
Zdzisław Opial: Algebra wyższa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.
Marek Ptak, Karol Gryszka, Beata Hejmej: Algebra liniowa. Notatki do wykładu. Kraków: Wydawnictwo Szkolne Omega, 2019. ISBN 978-83-7267-734-1.
Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.