Przykłady przestrzeni liniowych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ten artykuł zawiera pewne przykłady przestrzeni liniowych. W artykule „przestrzeń liniowa” znajdują się definicje używanych tutaj pojęć. Zobacz też: wymiar, baza.

Notacja. będzie oznaczać dowolne ciało takie jak liczby rzeczywiste lub liczby zespolone . Zobacz też: lista symboli matematycznych.

Trywialna lub zerowa przestrzeń liniowa[edytuj]

Najprostszy przykład przestrzeni liniowej jest trywialny: . Zawiera ona tylko wektor zerowy (zob. 3. aksjomat przestrzeni liniowej). Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są trywialne. Bazą tej przestrzeni liniowej jest zbiór pusty, tak więc jest 0-wymiarową przestrzenią liniową nad . Każda przestrzeń liniowa nad zawiera podprzestrzeń z nią izomorficzną.

Ciało[edytuj]

Kolejnym prostym przykładem jest samo ciało . Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem w ciele, a mnożenie przez skalar – mnożeniem z ciała. Jedynka służy jako baza, tak więc jest 1-wymiarową przestrzenią liniową nad sobą.

Ciało jest raczej szczególną przestrzenią liniową; rzeczywiście jest najprostszym przykładem algebry przemiennej nad . Dodatkowo ma tylko dwie podprzestrzenie: oraz samo .

Przestrzeń współrzędnych[edytuj]

 Osobny artykuł: przestrzeń współrzędnych.

Jest to prawdopodobnie najistotniejszy przykład przestrzeni liniowej. Dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej , przestrzeń wszystkich ciągów -elementowych o wartościach z stanowi -wymiarową przestrzeń liniową nad nazywaną czasami przestrzenią współrzędnych i oznaczaną . Element zapisuje się

,

gdzie każdy . Działania na zdefiniowane są wzorami:

,
,
,
.

Najczęstsze przypadki obejmują za ciało liczby rzeczywiste dając w ten sposób przestrzeń współrzędnych rzeczywistych lub liczby zespolone dając przestrzeń współrzędnych zespolonych .

Kwaterniony i oktawy Cayleya (oktoniony) są odpowiednio cztero- i ośmiowymiarowymi przestrzeniami liniowymi nad liczbami rzeczywistymi.

Przestrzeń liniowa ma bazę kanoniczną:

,
,
,

gdzie oznacza element neutralny mnożenia w .

Nieskończona przestrzeń współrzędnych[edytuj]

Niech oznacza przestrzeń ciągów nieskończonych elementów z takich, że tylko skończenie wiele elementów jest różnych od zera. Oznacza to, że jeśli zapiszemy element jako

,

to tylko skończenie wiele jest niezerowych (czyli od pewnego momentu wszystkie współrzędne są zerem). Dodawanie i mnożenie przez skalar dane są tak jak w skończonej przestrzeni współrzędnych. Wymiar jest przeliczalnie nieskończony. Baza kanoniczna składa się z wektorów zawierających na -tej współrzędnej i zera wszędzie indziej. Ta przestrzeń liniowa jest koproduktem (lub sumą prostą) przeliczalnie wielu egzemplarzy przestrzeni liniowej .

Należy zauważyć tutaj rolę warunku skończoności. Można by rozważać dowolne ciągi elementów z , które również tworzą przestrzeń liniową z takimi samym działaniami, często oznaczaną – zob. niżej. Jednakże wymiar takiej przestrzeni jest nieprzeliczalnie nieskończony i nie ma oczywistego wyboru bazy. Ponieważ wymiary się różnią, nie jest izomorficzna z ; w zamian jest to produkt przeliczalnie wielu egzemplarzy . Warto zauważyć, że jest (izomorficzna z) przestrzenią sprzężoną , ponieważ przekształcenie liniowe z w jest jednoznacznie określone przez jego wartości na elementach bazy , a te wartości mogą być dowolnie wybrane. Stąd widać, że przestrzeń liniowa nie musi być izomorficzna do swojej przestrzeni sprzężonej, jeśli jest ona nieskończeniewymiarowa, w przeciwieństwie do przypadku skończeniewymiarowego.

Iloczyn przestrzeni liniowych[edytuj]

Rozpoczynając od lub przeliczalnej rodziny przestrzeni liniowych nad tym samym ciałem, możemy określić iloczyn przestrzeni (przestrzeń produktową) jak wyżej.

Macierze[edytuj]

Niech oznacza zbiór macierzy z elementami w . Wówczas jest przestrzenią liniową nad . Dodawanie wektorów jest po prostu dodawaniem macierzy, a mnożenie przez skalar jest zdefiniowane naturalnie (jako mnożenie każdego elementu przez ten sam skalar). Rolę wektora zerowego pełni macierz zerowa. Wymiar wynosi . Jednym z możliwych wyborów bazy są macierze z jednym elementem jednostkowym i pozostałych elementach równych zeru.

Przestrzenie liniowe wielomianów[edytuj]

Pojedyncza zmienna[edytuj]

Zbiór wielomianów o współczynnikach w jest przestrzenią liniową nad oznaczaną . Dodawanie wektorów i mnożenie przez skalar są określone w oczywisty sposób. Jeżeli stopień wielomianów jest nieograniczony, to wymiar jest przeliczalnie nieskończony. Jeżeli ograniczy się stopień wielomianów do ściśle mniej niż otrzymamy przestrzeń liniową o wymiarze .

Jedną z możliwych baz dla jest złożona z wielomianów : współrzędnymi wielomianu w tej bazie są jego współczynniki, a przekształcenie przesyłające wielomian na ciąg jego współczynników jest izomorfizmem liniowym z w nieskończoną przestrzeń współrzędnych .

Wiele zmiennych[edytuj]

 Osobny artykuł: pierścień wielomianów.

Zbiór wielomianów wielu zmiennych o współczynnikach w jest przestrzenią liniową nad oznaczaną , gdzie oznacza liczbę współrzędnych.

Przestrzenie funkcyjne[edytuj]

 Osobny artykuł: przestrzeń funkcyjna.

Niech będzie dowolnym zbiorem, a dowolną przestrzenią liniową nad . Przestrzeń wszystkich funkcji z w jest przestrzenią liniową nad z działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalar określonymi jak następująco – dla dowolnych funkcji i dowolnego skalara :

,
,

gdzie działania po prawej stronie są określone w . Wektorem zerowym jest przez funkcja stała. Przestrzeń wszystkich funkcji z w jest zwykle oznaczana .

Jeżeli zbiór jest skończony, a skończeniewymiarowa, to ma wymiar , w pozostałych przypadkach przestrzeń jest nieskończeniewymiarowa (nieprzeliczalnie, jeśli jest nieskończony).

Wiele przestrzeni liniowych badanych w matematyce jest podprzestrzeniami pewnych przestrzeni funkcyjnych.

Uogólnione przestrzenie współrzędnych[edytuj]

Niech będzie dowolnym zbiorem. Rozważmy zbiór wszystkich funkcji z w , które przyjmują wartość zero poza skończoną liczbą argumentów. Przestrzeń ta jest podprzestrzenią liniową .

Przestrzeń opisana wyżej jest zwykle oznaczana i nazywana jest uogólnioną przestrzenią współrzędnych z następującego powodu. Jeżeli jest zbiorem liczb od do , to łatwo widać, że przestrzeń ta jest równoważna przestrzeni współrzędnych . Podobnie jeżeli jest zbiorem liczb naturalnych , to przestrzeń ta jest po prostu .

Baza kanoniczna dla jest zbiorem funkcji określonych wzorem

.

Wymiar jest więc równy mocy zbioru . W ten sposób możemy skonstruować przestrzeń liniową dowolnego wymiaru nad dowolnym ciałem. Co więcej, każda przestrzeń liniowa jest izomorficzna z jedną tej postaci. Każdy wybór bazy określa izomorfizm przez przesłanie bazy na bazę kanoniczną .

Uogólniona przestrzeń współrzędnych może być także rozumiana jako suma prosta egzemplarzy (czyli jednej dla każdego punktu z ):

.

Warunek skończoności jest zawarty w definicji sumy prostej. Warto porównać to z iloczynem prostym egzemplarzy , który dałby pełną przestrzeń funkcyjną .

Przekształcenia liniowe[edytuj]

Ważnym przykładem powstającym w kontekście samej algebry liniowej jest przestrzeń liniowa przekształceń liniowych. Niech oznacza zbiór wszystkich przekształceń liniowych z do (obie z nich są przestrzeniami liniowymi nad ). Wówczas Niech jest podprzestrzenią

, ponieważ jest ona zamknięta na dodawanie i mnożenie przez skalar.

Zauważmy, że może być identyfikowane z przestrzenią macierzy w naturalny sposób. Rzeczywiście, wybrawszy odpowiednie bazy w skończeniewymiarowych przestrzeniach oraz przestrzeń może być także identyfikowana z . Ta identyfikacja zwykle zależy od wyboru bazy.

Funkcje ciągłe[edytuj]

Jeżeli jest pewną przestrzenią topologiczną, taką jak przedział jednostkowy , możemy rozważać przestrzeń wszystkich funkcji ciągłych z w . Jest to podprzestrzeń liniowa , ponieważ suma dowolnych dwóch funkcji ciągłych jest ciągła, a również mnożenie przez skalar jest ciągłe.

Równania różniczkowe[edytuj]

Podzbiór przestrzeni wszystkich funkcji z składających się z (wystarczająco wiele razy różniczkowalnych) funkcji, które spełniają pewne równanie różniczkowe jest podprzestrzenią , o ile równanie jest liniowe. Jest to spowodowane faktem, iż różniczkowanie jest działaniem liniowym, czyli , gdzie apostrof oznacza operator różniczkowania.

Rozszerzenia ciała[edytuj]

Przypuśćmy, że jest podciałem (por. rozszerzenie ciała). Wówczas może być uważane za przestrzeń liniową nad przy ograniczeniu mnożenia skalarów do elementów z (dodawanie wektorów jest zdefiniowane normalnie). Wymiar tej przestrzeni liniowej jest nazywany stopniem rozszerzenia. Na przykład liczby zespolone tworzą dwuwymiarową przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi . Podobnie liczby rzeczywiste tworzą (nieprzeliczalnie) nieskończeniewymiarową przestrzeń liniową nad liczbami wymiernymi .

Jeżeli jest przestrzenią liniową nad , to może być uważana również za przestrzeń liniową nad . Wymiary są związane wzorem

.

Na przykład , uważana za przestrzeń liniową nad liczbami rzeczywistymi ma wymiar .

Skończeniewymiarowe przestrzenie liniowe[edytuj]

Abstrahując od trywialnego przypadku zerowymiarowej przestrzeni nad dowolnym ciałem, przestrzeń liniowa ma skończenie wiele elementów wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciałem skończonym i przestrzeń liniowa jest skończeniewymiarowa. Stąd mamy , jednoznaczne, skończone ciało o elementach. musi być tutaj potęgą liczby pierwszej ( – pierwsza). Wtedy dowolna -wymiarowa przestrzeń liniowa nad będzie mieć elementów. Liczba elementów również jest potęgą liczby pierwszej. Głównym przykładem takiej przestrzeni jest przestrzeń współrzędnych .