Przyspieszenie

Przyspieszenie

Rodzaj wielkości	wektorowa
Symbol	${\vec {a}},$ $\mathbf {a} ,$ $a$
Jednostka SI	m/s², m·s−2
W podstawowych jednostkach SI	$\mathrm {\frac {m}{s^{2}}}$
Wymiar	$\mathrm {\frac {L}{T^{2}}}$

Przyspieszenie – wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora prędkości w czasie.

Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, czyli jest szybkością zmiany prędkości. Jeśli przyspieszenie jest skierowane przeciwnie do zwrotu prędkości ruchu, to wartość prędkości w tym ruchu maleje, a przyspieszenie to jest wtedy nazywane opóźnieniem.

Definicja

Definicja przyspieszenia

Jeżeli dany wektor ${\vec {r}}$ określa położenie punktu materialnego, a wektor ${\vec {v}}$ określa prędkość tego punktu, to jego przyspieszenie ${\vec {a}}$ jest pochodną prędkości po czasie:

${\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}.$

Ponieważ prędkość z kolei jest pochodną położenia po czasie, to przyspieszenie można zapisać jako drugą pochodną położenia po czasie:

${\vec {a}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}.$

Jednostką przyspieszenia w układzie SI jest metr na sekundę do kwadratu.

$[{\vec {a}}]=\mathrm {\frac {m}{s^{2}}} .$

Związek z dynamiką

Zgodnie z drugą zasadą dynamiki przyspieszenie ${\vec {a}}$ ciała jest proporcjonalne do wypadkowej siły ${\vec {F}}$ działającej na to ciało i odwrotnie proporcjonalne do masy ciała $m.$ Kierunek i zwrot przyspieszenia ${\vec {a}}$ pokrywa się z kierunkiem i zwrotem siły ${\vec {F}}.$ Wzór wyrażający tę zależność ma postać

${\vec {a}}={\frac {\vec {F}}{m}}.$

W ruchu prostoliniowym

W ruchu po linii prostej kierunek prędkości jest ustalony, więc można ją traktować tak jak wielkość skalarną. Wówczas przyspieszenie określa wzór:

$a={\frac {dv}{dt}}.$

W ruchu jednostajnie zmiennym

Gdy przyspieszenie jest stałe ($a=\mathrm {const}$), wzór definicyjny przybiera postać

$a={\frac {\Delta v}{\Delta t}},$

gdzie $\Delta v$ jest przyrostem prędkości w czasie $\Delta t.$

Przyspieszenie w ruchu krzywoliniowym

Przyspieszenie styczne $a_{t}$ i normalne $a_{n}$

Jeżeli punkt porusza się po torze krzywoliniowym, wówczas jego całkowite przyspieszenie może być rozłożone na dwie składowe: prostopadłą do toru ruchu zwaną przyspieszeniem dośrodkowym lub normalnym (oznaczanym ${\vec {a}}_{n}$) i składową równoległą do toru, zwaną przyspieszeniem stycznym (ozn. ${\vec {a}}_{t}$).

Wektor ${\vec {a}}$ przyspieszenia całkowitego jest sumą jego składowych – normalnej ${\vec {a}}_{n}$ i stycznej ${\vec {a}}_{t}{:}$

${\vec {a}}={\vec {a}}_{n}+{\vec {a}}_{t}.$

Składowe – styczna i normalna – są wzajemnie prostopadłe i dlatego wartość przyspieszenia całkowitego jest równa:

$|{\vec {a}}|={\sqrt {|{\vec {a}}_{n}|^{2}+|{\vec {a}}_{t}|^{2}}}.$

Przyspieszenie dośrodkowe (normalne)

Jest to składowa przyspieszenia prostopadła do toru ruchu. Reprezentuje tę część przyspieszenia, która wpływa na zmianę kierunku prędkości, a zatem na kształt toru, ale nie wpływa na zmianę wartości prędkości. Jeżeli prędkość chwilowa oznaczona jest jako $v,$ a chwilowy promień zakrzywienia toru (promień okręgu stycznego do toru, czyli promień krzywizny toru) ruchu wynosi $r,$ to wartość $a_{n}$ przyspieszenia dośrodkowego ciała jest równa:

$a_{n}={\frac {v^{2}}{r}}.$

Przyspieszenie styczne

Jest to składowa przyspieszenia styczna do toru ruchu, powodująca zmianę wartości prędkości, ale nie powodująca zmiany kierunku ruchu. Stosując oznaczenie $v$ dla wartości prędkości chwilowej i oznaczenie $s$ dla drogi pokonanej przez ciało, przyspieszenie styczne $a_{t}$ określają wzory:

$a_{t}={\frac {dv}{dt}}={\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}.$

Przyspieszenie kątowe

Przyspieszenie kątowe ciała jest wielkością opisującą jego ruch obrotowy, utworzoną analogicznie do przyspieszenia liniowego, tylko wyrażoną w wielkościach kątowych. Jest pseudowektorem leżącym na osi obrotu i skierowanym zgodnie z regułą śruby prawoskrętnej. Jeśli współrzędną kątową ciała określa kąt $\alpha ,$ a $\omega$ oznacza jego prędkość kątową, to wartość przyspieszenia kątowego $\varepsilon$ określa wzór

$\varepsilon ={\frac {d\omega }{dt}}={\frac {d^{2}\alpha }{dt^{2}}}\quad [\varepsilon ]={\frac {1}{{\text{s}}^{2}}}.$

Jednostką przyspieszenia kątowego w układzie SI jest jeden radian przez sekundę do kwadratu.

Dowolne współrzędne krzywoliniowe

Niech współrzędne krzywoliniowe $q_{1}(t),\,q_{2}(t),\,q_{3}(t)$ tworzą układ współrzędnych w przestrzeni $R^{3}.$ Oznaczmy przez $\mathbf {e} _{1},\,\mathbf {e} _{2},\,\mathbf {e} _{3}$ wersory kierunków stycznych do osi tego układu.

Jeżeli $\mathbf {a}$ jest wektorem przyspieszenia, to jego rzuty na osie układu współrzędnych można zapisać wzorami

$a_{i}=\mathbf {a} \mathbf {e} _{i}={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\dot {\mathbf {v} }}{\frac {\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}},\quad i=1,2,3.$

(1)

Ponieważ

${\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})={\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}+\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}\quad \longrightarrow \quad {\dot {\mathbf {v} }}\mathbf {e} _{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}$

zatem

$a_{i}={\frac {d}{dt}}(\mathbf {v} \mathbf {e} _{i})-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}\mathbf {e} _{i}={\frac {1}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}\right)-\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r}{\partial q_{i}}}\right].$

(2)

Na podstawie wzoru dla prędkości

$\mathbf {v} ={\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{1}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}$

(3)

mamy

${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{i}}}$

(4)

i dzięki temu

$\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.$

(5)

Mamy również

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial r}{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}\partial q_{2}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}\partial q_{3}}}{\dot {q}}_{3}$

(6)

oraz

${\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{1}}}={\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{1}^{2}}}{\dot {q}}_{1}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{2}q_{1}}}{\dot {q}}_{2}+{\frac {\partial ^{2}\mathbf {r} }{\partial q_{3}q_{1}}}{\dot {q}}_{3}.$

(7)

Z porównania prawych stron (5) i (6) wynika, że

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{i}}},\quad i=1,2,3.$

(8)

Mamy zatem

$\mathbf {v} {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q_{i}}}=\mathbf {v} {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial q_{i}}}={\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}.$

(9)

Po podstawieniu (5) i (9) do (2) otrzymujemy następujące wzory dla rzutów $a_{i}$ wektora przyspieszenia $\mathbf {a}$ na osie krzywoliniowego układu współrzędnych

$a_{i}={\frac {1}{|\partial \mathbf {r} /\partial q_{i}|}}\left[{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial (v^{2}/2)}{\partial q_{i}}}\right],\quad i=1,2,3.$

(9)

Pomiar

Do pomiaru służy przetwornik przyspieszenia nazywany przyspieszeniomierzem lub akceleromierzem czy akcelerometrem.

Zobacz też

• grawitacja
• prędkość
• przyspieszenie dośrodkowe
• przyspieszenie grawitacyjne
• przyspieszenie ziemskie
• zryw – zmiana przyspieszenia w czasie