Punkt Nagela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Punkt Nagela trójkąta Na pomarańczowo zaznaczono okręgi dopisane do trójkąta

Punkt Nagelapunkt w trójkącie związany z okręgami dopisanymi, nazwany od nazwiska Christiana von Nagela, niemieckiego matematyka, który opisał go w 1836 roku[1].

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Niech dany będzie trójkąt Oznaczmy poprzez punkty styczności okręgów dopisanych z bokami trójkąta. Punktem Nagela nazywa się wspólne przecięcie odcinków łączących powyższe punkty styczności z przeciwległymi wierzchołkami trójkąta.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Ilustracja obrazująca zależność w trójkącie i jego okręgu dopisanym.

Przy pomocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy udowodnimy, że proste zawierające odcinki przecinają się w jednym punkcie[2][1][3].

Z definicji okrąg jest styczny do ramion kąta Oznaczmy punkty styczności okręgu z ramionami poprzez oraz Oznacza to, że odcinki i mają równą długość. Podobnie równej długości są odcinki i oraz i ponieważ okrąg jest również styczny do ramion kątów oraz Wywnioskować możemy z tego, że

(1a)

Analogicznie wywnioskować możemy, że

(1b)
(1c)

Korzystając z wniosków o styczności okręgu i ramion kątów wywnioskować możemy, że lewe i prawe strony każdej z powyższych równości równe są połowie obwodu trójkąta Łącząc parami strony powyższych równości można je dalej przekształcić do postaci[4]

(2a)
(2b)
(2c)

Teraz zauważmy, że zachodzi

co jest założeniem twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy. Wynika z niego, że proste zawierające odcinki przecinają się więc w jednym punkcie.

Związki z innymi punktami w trójkącie[edytuj | edytuj kod]

Punkt Nagela jest sprzężeniem izotomicznym punktu Gergonne’a[5].

Punkt Nagela, centroid (inaczej barycentrum, punkt przecięcia środkowych) oraz środek okręgu wpisanegowspółliniowe i leżą na prostej nazywanej prostą Nagela, drugą prostą Eulera, lub prostą Nagela-Eulera[6].

Środek okręgu wpisanego jest punktem Nagela trójkąta dopełniającego dla trójkąta tj. trójkąta powstałego poprzez połączenie środków boków trójkąta Rozumując odwrotnie, Punkt Nagela trójkąta jest środkiem okręgu wpisanego trójkąta antydopełniającego dla trójkąta tj. trójkąta, dla którego jest trójkątem dopełniającym[6][7][8].

Współrzędne trójliniowe[edytuj | edytuj kod]

Współrzędnymi trójliniowymi punktu Nagela są[9]

lub, przyjmując długość odpowiednich boków jako a, b i c,

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Bottema 2008 ↓, s. 10–11.
  2. Mikołajczyk 2012 ↓, s. 178.
  3. Zetel 1964 ↓, s. 20–21.
  4. Coxeter 1967 ↓, s. 13.
  5. Bottema 2008 ↓, s. 117–118.
  6. a b Zetel 1964 ↓, s. 55–56.
  7. Anonim 1893 ↓.
  8. Polymathematics ↓.
  9. Gallatly 1913 ↓, s. 20.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Peter Baptist. Historische Anmerkungen zu Gergonne- und Nagel-Punkt. „Sudhoffs Archiv für Geschichte der Medizin und der Naturwissenschaften”. 71 (2), 1987. 
  • O. Bottema: Topics in Elementary Geometry. Springer, 2008.
  • H.S.M. Coxeter, S.L. Greitzer: Geometry Revisited. The Mathematical Association of America, 1967.
  • William Gallatly: The Modern Geometry of the Triangle. Londyn: Hodgson, 1913.
  • Jak pracować z uczniem zdolnym? Poradnik nauczyciela matematyki. praca zbiorowa pod red. Małgorzaty Mikołajczyk. Warszawa: Ośrodek Rozwoju Edukacji, 2012.
  • David Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. John Sharp (ilustr.). Penguin Books Ltd., 1991.
  • Paul Yiu: Notes on Euclidean Geometry. 1998.
  • S.I. Zetel: Geometria trójkąta. Andrzej Mąkowski (tłum.). Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1964.
  • Anonim. Geometry: 69-72, Problem 73. „American Mathematical Monthly”. 3 (12), s. 329, 1893. JSTOR: 2970994?. 

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]