Punkt eksponowany

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Punkt eksponowany – punkt x0 domkniętego podzbioru wypukłego K przestrzeni liniowo-topologicznej X o tej własności, że istnieje ciągły funkcjonał liniowy fX* który jest ograniczony z góry na K, tj.

oraz x0 jest jedynym takim punktem w K, że

[1],

tj. x0 jest jedynym punktem K w którym (część rzeczywista) f osiąga swoje maksimum na K. Innymi słowy, punkt x0 jest eksponowany, gdy istnieje taka hiperpłaszczyzna podpierająca H zbioru K, że

[2]

Zbiór punktów eksponowanych danego zbioru wypukłego K oznaczany bywa symbolem exp K.

Pojęcie zostało wprowadzone w 1935 roku przez Stefana Straszewicza[3].

Związek z punktami ekstremalnymi[edytuj | edytuj kod]

Zbiór wypukły (kolor czerwony) wraz z zaznaczonymi punktami ekstremalnymi, które nie są eksponowane

Niech K będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru K jest również punktem ekstremalnym[1]. Przeciwna implikacja nie zachodzi nawet na płaszczyźnie. Istotnie, niech K będzie sumą prostokąta [-1,1] × [-1,0] oraz domkniętego koła o środku w zerze i promieniu 1. Wówczas punkty (-1,0), (1,0) są ekstremalne, ale nie są eksponowane, gdyż (jedyne) hiperpłaszczyzny podpierające zawierające te punkty zawierają także odpowiednie boki prostokąta [-1,1] × [-1,0] (zob. grafika obok). W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego K w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,

[2]

Punkty mocno eksponowane[edytuj | edytuj kod]

Niech K będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Punkt x0X jest mocno eksponowany, gdy istnieje taki funkcjonał fX*, że dla każdego ciągu (xn) elementów K, jeżeli

to x''nx0.

Zbiór punktów mocno eksponowanych zbioru K oznaczany bywa symbolem stexp K.

Każdy punkt mocno eksponowany jest eksponowany. W przypadku, gdy zbiór K jest dodatkowo zwarty, to każdy punkt eksponowany jest też mocno eksponowany[4]. Każdy punkt ekstremalny kuli jednostkowej przestrzeni ℓ jest *-słabo eksponowany, tj. funkcjonał f można dobrać z przestrzeni ℓ1[5]. Lindenstrauss i Phelps wykazali, że w każdej ośrodkowej przestrzeni refleksywnej da się wprowadzić normę równoważną, której kula jednostkowa ma co najwyżej przeliczalnie wiele punktów mocno eksponowanych[6]

Punkty mocno eksponowane słabo zwartych zbiorów wypukłych[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie przestrzenią Banacha oraz niech K będzie wypukłym i słabo zwartym podzbiorem X. Lindenstrauss[7], a także Troyanski[8], udowodnili, że

Lau wykazał, że zbiór tych funkcjonałów fX*, które świadczą o tym, że dany podzbiór słabo zwartego zbioru wypukłego jest mocno eksponowany jest typu Gδ[9].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b Megginson 1998 ↓, s. 270.
  2. a b Schneider 1993 ↓, s. 18.
  3. S. Straszewicz, Über exponierte Punkte abgeschlossener Punktmengen, Fund. Math., 24 (1935), 139–143.
  4. Fabian et al. 2011 ↓, s. 416.
  5. Fabian et al. 2011 ↓, s. 417.
  6. J. Lindenstrauss, R.R. Phelps, Extreme point properties of convex bodies in reflexive Banach spaces, Israel J. Math., 6 (1968), 39–48.
  7. J. Lindenstrauss, On operators which attain their norm, Israel J. Math. 1 (1963), 139–148.
  8. S.L. Troyanski, On locally uniformly convex and differentiable norms in certain non-separable Banach spaces, Studia Math. 37 (1970/71), 173–180.
  9. K.-S. Lau, A remark on strongly exposing functionals, Proc. Amer. Math. Soc., '59 (1976), 242–244.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • M. Fabian, P. Habala, P. Hájek, V. Montesinos, V. Zizler, Banach Space Theory: The Basis for Linear and Nonlinear Analysis, CMS Books in Math. Springer, 2011
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • Rolf Schneider: Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0521352208.