Punkt ekstremalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Zbiór wypukły (kolor niebieski) wraz ze swoimi punktami ekstremalnymi (czerwone linie)

Punkt ekstremalny zbioru wypukłego – punkt zbioru wypukłego, który nie leży wewnątrz żadnego niezdegenerowanego odcinka zawartego w tym zbiorze. Równoważnie, punkt jest punktem ekstremalnym zbioru wypukłego gdy równość

dla pewnych oraz implikuje, że lub [1]. Zbiór punktów ekstremalnych zbioru wypukłego oznaczany bywa symbolem

Charakterystyka[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie wypukłym podzbiorem rzeczywistej bądź zespolonej przestrzeni liniowej oraz Wówczas następujące warunki są równoważne[2]:

  1. jeżeli są takimi elementami że to co najmniej jeden z tych elementów nie należy do albo
  2. jeżeli oraz są takimi elementami że to co najmniej jeden z tych elementów nie należy do albo
  3. jeżeli jest skończonym podzbiorem oraz należy do otoczki wypukłej zbioru to
  4. zbiór jest wypukły.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Każdy z czterech wierzchołków dowolnego prostokąta jest punktem ekstremalnym; są to jedyne punkty ekstremalne w prostokącie.
  • Każdy punkt na brzegu (okrąg) koła domkniętego jest punktem ekstremalnym.
  • Niech będzie domkniętym i wypukłym podzbiorem przestrzeni liniowo-topologicznej. Każdy punkt eksponowany zbioru jest również punktem ekstremalnym[3]. W skończonych wymiarach, każdy punkt ekstremalny zwartego zbioru wypukłego w przestrzeni euklidesowej jest granicą ciągu punktów eksponowanych (twierdzenie Straszewicza). W szczególności,
[4].
  • Niech będzie przestrzenią unormowaną. Wówczas jest ściśle wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy sfera jednostkowa jest zbiorem punktów ekstremalnych domkniętej kuli jednostkowej tej przestrzeni.
  • Niech będzie miarą -skończoną oraz niech oznacza domkniętą kulę jednostkową przestrzeni , gdzie Wówczas
    • punkty ekstremalne są postaci gdzie jest atomem miary oraz jest takim skalarem, że
    • gdy zbiorem punktów ekstremalnych jest sfera jednostkowa, tj. zbiór funkcji o normie
    • zbiór punktów ekstremalnych składa się z funkcji które spełniają warunek dla prawie wszystkich [5].
W szczególności, kula jednostkowa przestrzeni nie ma punktów ekstremalnych.
  • W domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni rzeczywistych funkcji ciągłych na punktami ekstremalnymi są funkcje stale równe bądź tj. są tylko dwa takie punkty. Ogólniej, jeżeli jest przestrzenią całkowicie regularną, to punktami ekstremalnymi domkniętej kuli jednostkowej przestrzeni ograniczonych funkcji skalarnych na są funkcje spełniające warunek dla wszystkich [5].
  • Niech oznacza przestrzeń ograniczonych funkcji analitycznych na kole z normą supremum. Zbiór punktów ekstremalnych kuli jednostkowej tej przestrzeni składa się z tych funkcji które mają normę co najwyżej oraz
[6].

Brak punktów ekstremalnych domkniętej kuli jednostkowej [edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza domkniętą kulę jednostkową przestrzeni , tj. przestrzeni wszystkich ciągów liczbowych zbieżnych do Niech Istnieje wówczas takie że dla zachodzi Niech będą takimi ciągami liczbowymi, które spełniają dla oraz dla Tak zdefiniowane ciągi należą do są różne od oraz co oznacza, że nie jest punktem ekstremalnym [7].

Twierdzenia dotyczące punktów ekstremalnych w analizie funkcjonalnej[edytuj | edytuj kod]

tj. jest domknięciem otoczki wypukłej zbioru swoich punktów ekstremalnych.
[8].
W konsekwencji, z twierdzenia Krejna-Szmuljana wynika, że jeżeli jest słabo zwartym podzbiorem przestrzeni Banacha, to zbiór punktów ekstremalnych otoczki wypukłej zbioru zawiera się w [9].
[10].
  • Niech będzie -algebrą. Element domkniętej kuli jednostkowej w jest punktem ekstremalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest on elementem unitarnym. W szczególności, jeżeli kula ma punkt ekstremalny, to algebra ma jedynkę[11]. Analogiczne twierdzenie nie zachodzi dla algebr operatorów na przestrzeniach Banacha, które nie są przestrzeniami Hilberta. Dla każdego kula jednostkowa algebry operatorów zwartych na przestrzeni ma punkty ekstremalne mimo tego, że algebra ta nie ma jedynki[12].

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Conway 2012 ↓, s. 145.
  2. Conway 2012 ↓, s. 146.
  3. Megginson 1998 ↓, s. 270.
  4. Schneider 1993 ↓, s. 18.
  5. a b Conway 2012 ↓, s. 148.
  6. Hoffman 2014 ↓, s. 138.
  7. Conway 2012 ↓, s. 147.
  8. Megginson 1998 ↓, s. 268–269.
  9. Megginson 1998 ↓, s. 269.
  10. a b Diestel i Uhl 1977 ↓, s. 190.
  11. Takesaki 1979 ↓, s. 147–149.
  12. J. Hennefeld, Compact extremal operators, Il. J. Math. 21 (1977), 61–65.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • John B. Conway: A course in functional analysis. New York: Springer-Verlag, 1990. ISBN 0-387-97245-5. OCLC 472303305. (ang.)
  • Joseph Diestel, John Jerry (Jr.) Uhl: Vector Measures. Rhode Island: American Mathematical Society, 1977.
  • Joseph Diestel: Sequences and series in Banach spaces. Springer-Verlag, 1984, seria: Graduate Texts in Mathematics. ISBN 0-387-90859-5.
  • Kenneth Hoffman: Banach Spaces of Analytic Functions. Courier Corporation, 2014. ISBN 978-0486458748.
  • Robert E. Megginson: An Introduction to Banach Space Theory. New York: Springer-Verlag, 1998, seria: Graduate Texts in Mathematics 183.
  • Rolf Schneider: Convex Bodies: The Brunn-Minkowski Theory. Cambridge University Press, 1993, seria: Encyclopedia of Mathematics and its Applications. ISBN 978-0521352208.
  • Masamichi Takesaki: Theory of Operator Algebras I. Springer-Verlag, 1979. ISBN 978-3-540-42248-8. OCLC 495494749. (ang.)