Punkt nieciągłości

Wykres funkcji gamma Eulera $(\Gamma )$ w dziedzinie zespolonej. W punktach całkowitych niedodatnich $(z\in \mathbb {Z} _{\leqslant 0})$ ma ona nieciągłości nieusuwalne i odosobnione

Punkt nieciągłości, nieciągłość – dwuznaczne pojęcie analizy matematycznej i topologii:

• argument funkcji, dla którego dana funkcja nie jest ciągła;
• czasem wymaga się, żeby był to punkt skupienia tej dziedziny, a niekoniecznie jej element.

Wyróżnia się kilka odmian nieciągłości, a te odmiany nie zawsze są rozłączne – niektóre właściwości mogą się łączyć. Na temat nieciągłości udowodniono co najmniej kilka twierdzeń, związanych m.in. z pojęciem całki.

Rodzaje

Wykres funkcji sinc. Jest utworzona z funkcji $x\mapsto {\frac {\sin x}{x}},$ która w punkcie $x=0$ ma nieciągłość usuwalną

Wykres funkcji signum, która w punkcie $x=0$ ma nieciągłość nieusuwalną, konkretniej skokową

Co najmniej dwa rodzaje nieciągłości są określone dla funkcji między dowolnymi przestrzeniami topologicznymi:

• jeśli w punkcie nieciągłości istnieje granica funkcji, to taką nieciągłość nazywa się usuwalną;
• punkt nieciągłości nazywa się odosobnionym, jeśli w pewnym sąsiedztwie tego punktu funkcja jest ciągła. Przykład funkcji z odosobnioną nieciągłością to funkcja signum (znak) – punkt nieciągłości to 0. Przykładem funkcji, dla której każdy punkt jej dziedziny jest punktem nieciągłości, jest funkcja Dirichleta.

Dla funkcji zmiennej rzeczywistej $(f:X\rightarrow Y,$ $X\subseteq \mathbb {R} )$ definiuje się dodatkowe rodzaje nieciągłości:

• nieciągłość skokowa oznacza, że funkcja ma w danym punkcie różne granice jednostronne, właściwe (skończone) lub nie. Jeśli są skończone, to mówi się też o skoku funkcji, choć ta nazwa oznacza też różnicę między granicami jednostronnymi;
• nieciągłość zwyczajna lub pierwszego rodzaju – rozumiana szeroko – oznacza skończone granice jednostronne. Czasem wymaga się dodatkowo, by granice te były różne, co pokrywa się z jednym z podanych wyżej pojęć skoku funkcji;
• nieciągłość drugiego rodzaju – rozumiana szeroko – oznacza, że w danym punkcie nie istnieją skończone granice jednostronne. Czasem wymaga się, by co najmniej jedna z granic jednostronnych była nieskończona.

Twierdzenia

Dla funkcji rzeczywistej zbiór nieciągłości jest przeliczalną sumą zbiorów domkniętych. Istnieją też wyniki o nieciągłościach funkcji rzeczywistych zmiennej rzeczywistej $(f:X\rightarrow Y;$ $X,Y\subseteq \mathbb {R} )$:

• Funkcja monotoniczna w przedziale ma w nim wyłącznie nieciągłości skokowe.
• Pochodna funkcji ma przeliczalną liczbę nieciągłości skokowych.
• Niech funkcja $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ będzie ograniczona i mierzalna. Jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości jest miary zero.

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 12. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.
• Wacław Leksiński, Ireneusz Nabiałek, Wojciech Żakowski: Matematyka. Definicje, twierdzenia, przykłady, zadania. Wyd. V. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 1995, seria: Podręczniki akademickie: elektronika, informatyka, telekomunikacja. ISBN 83-204-1892-5.
• Andrzej Schinzel: Wacław Sierpiński. Wydawnictwo Iskry, 1976, seria: Współczesne życiorysy Polaków.
• PawełP. Strzelecki PawełP., Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) [online], Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytetu Warszawskiego (MIM UW), mimuw.edu.pl, 14 grudnia 2018 [dostęp 2025-10-09] .

Literatura dodatkowa

• Walter Rudin: Podstawy analizy matematycznej. Warszawa: PWN, 1998, s. 270–271.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-04].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Removable Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-04].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Jump Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-04].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Infinite Discontinuity, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-10-04].