Punkt stały

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Punkt stały odwzorowania pewnego zbioru w siebie - punkt, w którym wartość odwzorowania na argumencie jest równa temu argumentowi.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech X będzie zbiorem będącym dziedziną i przeciwdziedziną odwzorowania f

f\colon X\to X.

Punkt x należacy do zbiory X

x\in X

nazywamy punktem stałym odwzorowania f, jeśli

f(x)=x.

Zbiór punktów stałych oznaczamy \operatorname{Fix}(f) :

\operatorname{Fix}(f)=\{x\in X\colon\; f(x)=x\}.

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Dużą część zagadnień matematycznych można sprowadzić do poszukiwania punktu stałego pewnych odwzorowań. Należą do nich m.in.:

jak i wielu innych.

Nawet szukanie rozwiązania układu równań (np. liczbowych) sprowadza się do szukania punktu stałego pewnego odwzorowania. Dokładniej, niech X będzie przestrzenią liniową, (np. \mathbb{R}^n lub \mathbb{C}^n) oraz F\colon X\to X. Punkt x\in X jest rozwiązaniem rozwiązaniem równania F(x)=0 wtedy i tylko wtedy, gdy jest punktem stałym odwzorowania f=\mbox{id}-F.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Jerzy Jezierski, Wacław Marzantowicz: Homotopy Methods in Topological Fixed and Periodic Points Theory. Dordrecht: Springer, 2006.