Różnica symetryczna zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania
Diagram Venna dla (różnica symetryczna oznaczona jest kolorem jasnofioletowym)

Różnica symetryczna zbiorów i zbiór, do którego należą elementy zbioru nienależące do zbioru oraz elementy należące do zbioru ale nienależące do zbioru [1].

Różnicę symetryczną oznaczamy symbolem [1][2][3]. Używane są również symbole oraz [4].

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

[1].

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli to
  • Za pomocą różnicy symetrycznej i iloczynu można zdefiniować sumę i różnicę zbiorów:
    • Jeśli to ogólniej, [2].
    • [2]
  • Zbiór składa się z elementów należących albo do wszystkich trzech zbiorów, albo do dokładnie jednego z nich. Z uwagi tej wynika łączność tego działania[3][2].
  • Zbiór potęgowy zbioru z operacją różnicy symetrycznej tworzy grupę przemienną, gdyż działanie to:
  • Wraz z operacją przekroju powyższa grupa tworzy przemienny, łączny pierścień z jedynką, w którym dla wszystkich W szczególności pierścień ten jest przykładem pierścienia Boole’a.

Różnica symetryczna w logice[edytuj | edytuj kod]

Przyjmując, że zdanie logiczne oznacza: „ należy do zbioru ”, natomiast zdanie : „ należy do zbioru ” to zdanie można równoważnie zapisać jako gdzie oznacza alternatywę rozłączną.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]