Różnica zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Różnica zbiorów A \ B - zbiór złożony z tych elementów zbioru A, które nie należą do B.

Definicje[edytuj]

Różnica zbiorów B i A oznaczona kolorem szarym

Do różnicy zbiorów i należą te i tylko te elementy zbioru , które nie należą do zbioru [1][2][3]:

[1],

co jest równoważne

[4][5],

gdzie jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[6][7] lub uniwersum[8].

Różnica zbiorów i jest zazwyczaj oznaczana przez [4][5], niekiedy także przez [1][3][2].

Za pomocą różnicy zbiorów można zdefiniować dwie inne operacje: różnicę symetryczną i dopełnienie zbioru. Za pomocą różnicy można zdefiniować także iloczyn (część wspólną) zbiorów:

[9].

Przykłady[edytuj]

  • Niech będzie zbiorem liczb wymiernych a niech będzie zbiorem liczb rzeczywsitych. Wówczas jest zbiorem liczb niewymiernych[1] :
.
  • Jeżeli , a , to .

Własności[edytuj]

A jest podzbiorem B (czyli zbiór A zawiera się w B) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica A \ B jest zbiorem pustym:

.

W teorii zbiorów i jej zastosowaniach ważną rolę odgrywa tak zwana zasada dualności[10], która jest oparta na dwóch następujących tożsamościach:

  • Dopełnienie sumy zbiorów jest równe iloczynowi ich dopełnień:
.
  • Dopełnienie iloczynu zbiorów jest równe sumie ich dopełnień:
.

Zasada dualności w teorii mnogości polega na tym, że z dowolnej równości, dotyczącej podzbiorów ustalonego zbioru X można całkiem automatycznie uzyskać równość dualną, zastępując wszystkie zbiory ich dopełnieniami, sumy - iloczynami, a iloczyny - sumami.

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  1. A. N. Kołmogorow, S. W. Fomin: Elementy teorii funkcji i analizy funkcjonalnej (wyd. ros.). Wyd. 2. Nauka, 1989. ISBN 5-02-013993-9.
  2. Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952, seria: Monografie matematyczne, t. 27. OCLC 250182901. [dostęp 2016-09-23].
  3. Kazimierz Kuratowski: Wstęp do teorii mnogości i topologii. Wyd. 8. Warszawa: PWN, 1980, seria: Biblioteka matematyczna, t. 9. ISBN 83-01-01372-9.
  4. Roman Leitner: Zarys matematyki wyższej dla studentów. Wyd. 11. Cz. 1. Warszawa: WNT, 1999. ISBN 83-204-2395-3.
  5. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
  6. Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.

Zobacz też[edytuj]