Różnica zbiorów

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Różnica zbiorów zbiór złożony z tych elementów zbioru które nie należą do

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Różnica zbiorów i oznaczona kolorem fioletowym.

Do różnicy zbiorów i należą te i tylko te elementy zbioru które nie należą do zbioru [1][2][3]:

[1],

co jest równoważne

[4][5],

gdzie jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[6][7] lub uniwersum[8].

Różnica zbiorów i jest zazwyczaj oznaczana przez [4][5], niekiedy także przez [1][3][2].

Za pomocą różnicy zbiorów można zdefiniować dwie inne operacje: różnicę symetryczną i dopełnienie zbioru. Za pomocą różnicy można zdefiniować także iloczyn (część wspólną) zbiorów:

[9].

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Niech będzie zbiorem liczb wymiernych a niech będzie zbiorem liczb rzeczywistych. Wówczas jest zbiorem liczb niewymiernych[1]
  • Jeżeli a to

Własności[edytuj | edytuj kod]

jest podzbiorem (czyli zbiór zawiera się w ) wtedy i tylko wtedy, gdy różnica jest zbiorem pustym:

W teorii zbiorów i jej zastosowaniach ważną rolę odgrywa tak zwana zasada dualności[10], która jest oparta na dwóch następujących tożsamościach:

  • Dopełnienie sumy zbiorów jest równe iloczynowi ich dopełnień:
  • Dopełnienie iloczynu zbiorów jest równe sumie ich dopełnień:

Zasada dualności w teorii mnogości polega na tym, że z dowolnej równości, dotyczącej podzbiorów ustalonego zbioru można całkiem automatycznie uzyskać równość dualną, zastępując wszystkie zbiory ich dopełnieniami, sumy – iloczynami, a iloczyny – sumami.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]