Pochodna, różniczka, czasami: różniczka zupełna funkcji
w punkcie
to przekształcenie liniowe
będące najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu funkcji
w tym punkcie. Różniczkę zupełną da się przedstawić w postaci

gdzie
to pochodne rzutowań na
-tą współrzędną względem bazy standardowej
tzn. funkcji
danych wzorami

Różniczka (tzn. przekształcenie dane wzorem
) jest przykładem
-formy różniczkowej.
Niech
będzie zbiorem otwartym. Niech
będzie funkcją różniczkowalną w punkcie
Wówczas różniczka zupełna funkcji
w punkcie
to jej pochodna w punkcie
czyli przekształcenie liniowe
które w pewnym sensie jest najlepszym liniowym przybliżeniem przyrostu

W szczególności można napisać

dla dowolnego
takiego, że
Pochodna
ma macierz w bazie standardowej
![{\displaystyle [df(a)]=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\ldots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bce6bd9ec789d4624129c23966abb5c798815c7)
Wynika z tego, że pochodna
jest dana wzorem
![{\displaystyle df(a)(h_{1},\dots ,h_{n})=\left[{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)\ldots {\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right]{\begin{bmatrix}h_{1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)h_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e42ba4533113c775789ad89d38e2de706a23ac24)
W szczególności rzutowania
na
-tą współrzędną względem bazy standardowej
tzn. funkcje dane wzorami

są różniczkowalne i ich pochodne są dane wzorami

dla dowolnego
Widzimy, że różniczkę można zapisać w postaci

(dla prosty oznaczeń piszemy
zamiast
), którą nazywamy postacią kanoniczną. Oznaczając pochodne
przez
można powyższemu wzorowi nadać klasyczną formę

Różniczka funkcji
różniczkowalnej w punkcie
ma postać kanoniczną

gdzie:

(dla uproszczenia piszemy
zamiast
itd.).
Z definicji różniczki wynika, że za jej pomocą można przybliżać przyrost funkcji. Z własności różniczki wynika, że to przybliżenie ma postać

dla dowolnego
takiego, że
należy do dziedziny
To przybliżenie jest tym lepsze im mniejsze co do normy jest
Trochę nadużywając notacji można
we wzorze

interpretować jako przyrosty argumentów funkcji
Oznaczenie
odzwierciedla wtedy to, że zakłada się, że są one małe. W szczególności, trochę nadużywając notacji, można napisać, że np.

Niech
będzie zbiorem otrwartym. Różniczkowalna funkcja
indukuje odwzorowanie
z
w
tj. w przestrzeń przekształceń liniowych z
w
dane wzorem

Przekształcenie
nazywamy pochodną funkcji
albo różniczką funkcji
Przekształcenie
spełnia definicję
-formy. Różniczka jest zatem
-formą na zbiorze otwartym
Ogólna
-forma na zbiorze otwartym
ma postać kanoniczną

gdzie współczynniki
to dowolne funkcje rzeczywiste i niekonicznie muszą być pochodnymi cząstkowymi innej funkcji. Ogólna
-forma na zbiorze otwartym w
ma postać kanoniczną

gdzie
to iloczyn zewnętrzny. Ogólna
-forma na zbiorze otwartym w
ma postać

O formie różniczkowej mówi się z definicji, że jest klasy
lub klasy
jeżeli takimi są funkcje
Pochodną zewnętrzną
-formy
nazywa się następującą
formę

O formie różniczkowej która jest postaci
dla pewnej formy
mówi się, że jest dokładna. O formie różniczkowej, której pochodna zewnętrzna znika mówi się, że jest zamknięta. Z twierdzenia Schwarza i własności iloczynu zewnętrznego wynika, że

o ile tylko funkcje
są klasy co najmniej
a zatem każda forma dokładna (i klasy co najmniej
) jest zamknięta. Odwrotna implikacja nie musi być prawdziwa, ale jak wynika z Lematu Poincarégo jest prawdziwa na zbiorach otwartych i gwiaździstych.
W szczególności z definicji pochodnej zewnętrznej wynika, że różniczka (zupełna)
jest pochodną zewnętrzną
-formy
czyli zwykłej funkcji. Wynika stąd, że różniczka (zupełna) jest dokładna i zamknięta.
Ponieważ różniczka
jest
-formą to można rozważać jej całkę jako całkę z formy po
-wymiarowej rozmaitości różniczkowej, czyli po krzywej.

Ogólne twierdzenie Stokesa mówi, że całka
-formy
po brzegu
-wymiarowej rozmaitości różniczkowej
jest równa (brzeg jest wówczas rozmaitością różniczkową
wymiarową)

Krzywa zamknięta
jest brzegiem pewnej 2-wymiarowej rozmaitości różniczkowej, czyli powierzchni w
Ponieważ różniczka (zupełna) jest zamknięta to z twierdzenia Stokesa dostajemy

a zatem całka z różniczki (zupełnej) po krzywej zamkniętej znika.
Rozpatrzmy dwa dowolne punkty
oraz dwie dowolne krzywe je łączące – krzywą
biegnącą z punku
do punktu
oraz krzywą
biegnącą z punktu
do punktu
Krzywe
i
tworzą razem 1-wymiarową rozmaitość różniczkową kawałkami gładką dla której prawdziwe jest Ogólne Twierdzenie Stokesa. Z dyskusji w poprzednim rozdziale dostajemy

czyli

Zamieniając parametryzację krzywej
na przeciwną, dostajemy

Oznacza to, że całka od punktu
do
z
nie zależy od drogi całkowania.
Tw. Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci

gdzie
– dane funkcje zmiennych
to jest ono różniczką zupełną
pewnej funkcji
jeżeli dla każdego
zachodzi:

Dowód:
Wychodząc z wyrażenia na różniczkę zupełną
widzimy, że funkcje
mają postacie

i powyższy warunek na istnienie różniczki zupełnej funkcji
sprowadza się do żądania, by równe były pochodne cząstkowe drugiego rzędu

– wymóg ten jest zawsze spełniony, jeżeli istnieją powyższe pochodne, cnd.
- Michael Spivak: Analiza matematyczna na rozmaitościach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. Brak numerów stron w książce