Różniczka zupełna

Różniczką zupełną funkcji $f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ zmiennych niezależnych $q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}$ nazywamy takie wyrażenie Pfaffa, że:

$df=\sum _{i=1}^{n}{{\frac {\partial f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}dq_{i}},$

gdzie:

• ${\frac {\partial P(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}$ – pochodna cząstkowa funkcji $f$ po zmiennej $q_{i},$
• $dq_{i}$ – różniczki zmiennych niezależnych, czyli małe ich przyrosty.

Przypadek funkcji jednej zmiennej

Na górnym wykresie widzimy przybliżenie funkcji (niebieska linia) za pomocą różnicy skończonej (żółta linia). Na dolnym wykresie jest „nieskończenie wiele razy powiększone otoczenie punktu x1" (fioletowy kwadracik z górnego wykresu). Na dolnym wykresie żółta linia nie została naniesiona. Na rysunku użyto dwóch równoważnych oznaczeń pochodnej $f'(x_{1})={\frac {df(x_{1})}{dx_{1}}}$ ponadto oznaczono $\Delta f=f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})$

Jeżeli funkcja $f(x)$ jest zależna od jednej zmiennej $x$ i jej pochodna $f'(x)$ jest określona, to różniczka zupełna ma postać

$df(x)=f'(x)dx.$

Na wykresach przedstawiono przykład przybliżenia funkcji za pomocą różnic skończonych oraz tą samą sytuację z punktu widzenia różniczkowego (przybliżenie wartości funkcji staje się wówczas dokładną wartością, gdyż w „świecie różniczkowym” fragment wykresu funkcji nie ma krzywizny, ale jest odcinkiem prostej): gdy $\Delta x\to 0,$ to

ze świata różnic skończonych wkraczamy w świat różniczek, dostając $dx,$ które jest dowolnie małe (infinitezymalne, czyli mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej, ale większe od zera).

Rysunki pokazują, jak należy intuicyjnie pojmować, czym są różniczki: tak jak $\Delta f$ mówi o przyroście wartości funkcji w świecie różnic skończonych, tak $df$ mówi o infinitezymalnym przyroście funkcji w świecie różniczek.

Przypadek funkcji dwóch zmiennych

Dla funkcji dwóch zmiennych $f(x,y)$ różniczka zupełna ma postać:

$df(x,y)={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}dy.$

Powyższe wyrażenie po zamianie różniczek na różnice skończone $\Delta x,\Delta y$ przyjmie postać przyrostu funkcji

$\Delta f(x,y)={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\Delta x+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\Delta y.$

Wówczas wartość funkcji można obliczyć w sposób przybliżony ze wzoru

$f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\Delta f(x,y).$

Różniczki wyższych rzędów

(1) Różniczkę drugiego rzędu $d^{2}f(x,y)$ oblicza się korzystając z wzoru z przypadku 2D. W notacji zamiast pisać $f(x,y)$ piszemy $f$

${\begin{aligned}d^{2}f&=d(df)\\&=d\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)\\&={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)dx+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)dy\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}dydx+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}dy^{2}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}dy^{2}.\end{aligned}}$

(2) Różniczka $d^{3}f(x,y)$ ma postać

$d^{3}f={\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}dx^{3}+3{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{2}\partial y}}dx^{2}dy+3{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x\partial y^{2}}}dxdy^{2}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial y^{3}}}dy^{3}.$

(3) Jak widać wzory na różniczkę drugiego i trzeciego rzędu przypominają wzory skróconego mnożenia dla $(x+y)^{2}$ oraz $(x+y)^{3}.$ Okazuje się, że można w ten sposób napisać wzory na różniczkę n-tego rzędu (korzystając ze wzoru na dwumian Newtona).

Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej

Tw. Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci

$\sum _{i=1}^{n}{f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})dq_{i}},$

gdzie $f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),i=1,\dots ,n$ – dane funkcje zmiennych $q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}$

to jest ono różniczką zupełną $df$ pewnej funkcji $f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n}),$ jeżeli dla każdego $i,j$ zachodzi:

${\frac {\partial f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial f_{j}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}.$

Dowód:

Wychodząc z wyrażenia na różniczkę zupełną $df$ widzimy, że funkcje $f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ mają postacie

$f_{i}(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})={\frac {\partial f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}}}$

i powyższy warunek na istnienie różniczki zupełnej funkcji $f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})$ sprowadza się do żądania, by równe były pochodne cząstkowe drugiego rzędu

${\frac {\partial ^{2}f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{j}\partial q_{i}}}={\frac {\partial ^{2}f(q_{1},q_{2},\dots ,q_{n})}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}$

– wymóg ten jest zawsze spełniony, jeżeli istnieją powyższe pochodne, cnd.

Zobacz też

• pochodna zupełna

Bibliografia

• Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.

Linki zewnętrzne

• 1. Pochodne cząstkowe; 2. Różniczki, 2.1. Różniczka zupełna; Filip A. Wudarski na: www.fizyka.umk.pl (Materiay MMF)