Różniczka zupełna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Różniczką zupełną funkcji nazywamy takie wyrażenie Pfaffa, że:

gdzie:

pochodna cząstkowa funkcji P po zmiennej qi

Pochodne mieszane[edytuj]

Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci:

to jest ono różniczką zupełną, jeżeli dla każdego i i j zachodzi:

Ponieważ z definicji wiemy, że:

to dla różniczki zupełnej funkcji zachodzi:

Przypadek funkcji jednej zmiennej[edytuj]

Na górnym wykresie widzimy przybliżenie funkcji (niebieska linia) za pomocą różnicy skończonej (żółta linia). Na dolnym wykresie jest "nieskończenie wiele razy powiększone otoczenie punktu x1" (fioletowy kwadracik z górnego wykresu). Na dolnym wykresie żółta linia nie została naniesiona. Na rysunku użyto dwóch równoważnych oznaczeń pochodnej ponadto oznaczono

Mamy funkcję oraz jej pochodną . Różniczka zupełna będzie miała postać . Na wykresach został przedstawiony przykład przybliżenia funkcji za pomocą różnic skończonych oraz ta sama sytuacja, ale z punktu widzenia różniczkowego (przybliżenie wartości funkcji staje się wówczas dokładną wartością, gdyż w "świecie różniczkowym" nie ma krzywizny (dla funkcji gładkich) - wszystko staje się proste). Gdy , to ze świata różnic skończonych wkraczamy w świat różniczek, dostając , które jest dowolnie małe (infinitezymalne, czyli mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej, ale większe od zera), wykresy przybliżają, jak należy intuicyjnie pojmować, czym są różniczki. Tak jak mówi o przyroście wartości funkcji w świecie różnic skończonych, tak mówi o infinitezymalnym przyroście funkcji w świecie różniczek.

Przypadek funkcji dwóch zmiennych[edytuj]

Dla funkcji dwóch zmiennych różniczka zupełna ma postać[1]:

Różniczka zupełna pozwala przybliżać wartość funkcji gdy znamy oraz wartości pochodnych cząstkowych.

Wówczas Takie przybliżenia można używać np. do szacowania wielkości błędu gdy znamy błędy .

Różniczki wyższych rzędów [2][edytuj]

Wyliczmy różcznikę korzystając z wzoru z przypadku 2D. W notacji zamiast pisać piszemy f.

Różniczka ma postać

Jak widać wzory na różniczkę drugiego i trzeciego rzędu przypominają wzory skróconego mnożenia dla oraz , okazuje się że można w ten sposób napisać wzory na różniczkę n-tego rzędu (korzystając ze wzoru na dwumian Newtona).

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  • Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.