Różniczka zupełna

Różniczką zupełną funkcji $P(q_{1},q_{2},...,q_{n})$$P(q_{1},q_{2},...,q_{n})$ nazywamy takie wyrażenie Pfaffa, że:

$dP=\sum _{i=1}^{n}{{\frac {\partial P(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{i}}}dq_{i}}$$dP=\sum _{{i=1}}^{{n}}{{\frac {\partial P(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{i}}}dq_{i}}$

gdzie:

${\frac {\partial P(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{i}}}$${\frac {\partial P(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{i}}}$ – pochodna cząstkowa funkcji P po zmiennej q_i

Pochodne mieszane

Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci:

$dP=\sum _{i=1}^{n}{f_{i}(q_{1},q_{2},...,q_{n})dq_{i}}$$dP=\sum _{{i=1}}^{{n}}{f_{i}(q_{1},q_{2},...,q_{n})dq_{i}}$

to jest ono różniczką zupełną, jeżeli dla każdego i i j zachodzi:

${\frac {\partial f_{i}(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial f_{j}(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{i}}}$${\frac {\partial f_{i}(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{j}}}={\frac {\partial f_{j}(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{i}}}$

Ponieważ z definicji wiemy, że:

$f_{i}(q_{1},q_{2},...,q_{n})={\frac {\partial P(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{i}}}$$f_{i}(q_{1},q_{2},...,q_{n})={\frac {\partial P(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{i}}}$

to dla różniczki zupełnej funkcji $P(q_{1},q_{2},...,q_{n})$$P(q_{1},q_{2},...,q_{n})$ zachodzi:

${\frac {\partial P(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{j}\partial q_{i}}}={\frac {\partial P(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}$${\frac {\partial P(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{j}\partial q_{i}}}={\frac {\partial P(q_{1},q_{2},...,q_{n})}{\partial q_{i}\partial q_{j}}}$

Przypadek funkcji jednej zmiennej

Na górnym wykresie widzimy przybliżenie funkcji (niebieska linia) za pomocą różnicy skończonej (żółta linia). Na dolnym wykresie jest "nieskończenie wiele razy powiększone otoczenie punktu x1" (fioletowy kwadracik z górnego wykresu). Na dolnym wykresie żółta linia nie została naniesiona. Na rysunku użyto dwóch równoważnych oznaczeń pochodnej $f'(x_{1})={\frac {df(x_{1})}{dx_{1}}}$$f'(x_{1})={\frac {df(x_{1})}{dx_{1}}}$ ponadto oznaczono $\Delta f=f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})$$\Delta f=f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})$

Mamy funkcję $f(x)$$f(x)$ oraz jej pochodną $f'(x)$$f'(x)$. Różniczka zupełna będzie miała postać $df(x)=f'(x)dx$$df(x)=f'(x)dx$. Na wykresach został przedstawiony przykład przybliżenia funkcji za pomocą różnic skończonych oraz ta sama sytuacja, ale z punktu widzenia różniczkowego (przybliżenie wartości funkcji staje się wówczas dokładną wartością, gdyż w "świecie różniczkowym" nie ma krzywizny (dla funkcji gładkich) - wszystko staje się proste). Gdy $\Delta x\rightarrow 0$$\Delta x\rightarrow 0$, to ze świata różnic skończonych wkraczamy w świat różniczek, dostając $dx$$dx$, które jest dowolnie małe (infinitezymalne, czyli mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej, ale większe od zera), wykresy przybliżają, jak należy intuicyjnie pojmować, czym są różniczki. Tak jak $\Delta f$$\Delta f$ mówi o przyroście wartości funkcji w świecie różnic skończonych, tak $df$$df$ mówi o infinitezymalnym przyroście funkcji w świecie różniczek.

Przypadek funkcji dwóch zmiennych

Dla funkcji dwóch zmiennych $f(x,y)$$f(x,y)$ różniczka zupełna ma postać:

$df(x,y)={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}dy$$df(x,y)={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}dy$

Różniczka zupełna pozwala przybliżać wartość funkcji gdy znamy $\Delta x,\Delta y$$\Delta x,\Delta y$ oraz wartości pochodnych cząstkowych.

$\Delta f(x,y)={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\Delta x+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\Delta y$$\Delta f(x,y)={\frac {\partial f(x,y)}{\partial x}}\Delta x+{\frac {\partial f(x,y)}{\partial y}}\Delta y$

Wówczas $f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\Delta f(x,y)$$f(x+\Delta x,y+\Delta y)\approx f(x,y)+\Delta f(x,y)$ Takie przybliżenia można używać np. do szacowania wielkości błędu gdy znamy błędy $\Delta x,\Delta y$$\Delta x,\Delta y$.

Różniczki wyższych rzędów

Wyliczmy różcznikę $d^{2}f(x,y)$$d^{2}f(x,y)$ korzystając z wzoru z przypadku 2D. W notacji zamiast pisać $f(x,y)$$f(x,y)$ piszemy f.

$d^{2}f=d(df)=d\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)dx+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)dy$$d^{2}f=d(df)=d\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)dx+{\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy\right)dy$

$={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}dydx+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}dy^{2}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}dy^{2}$$={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}dydx+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}dy^{2}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}dx^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dxdy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}dy^{2}$

Różniczka $d^{3}f(x,y)$$d^{3}f(x,y)$ ma postać

$d^{3}f={\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}dx^{3}+3{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{2}\partial y}}dx^{2}dy+3{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x\partial y^{2}}}dxdy^{2}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial y^{3}}}dy^{3}$$d^{3}f={\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}dx^{3}+3{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{2}\partial y}}dx^{2}dy+3{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x\partial y^{2}}}dxdy^{2}+{\frac {\partial ^{3}f}{\partial y^{3}}}dy^{3}$

Jak widać wzory na różniczkę drugiego i trzeciego rzędu przypominają wzory skróconego mnożenia dla $(x+y)^{2}$$(x+y)^{2}$ oraz $(x+y)^{3}$$(x+y)^{3}$, okazuje się że można w ten sposób napisać wzory na różniczkę n-tego rzędu (korzystając ze wzoru na dwumian Newtona).

Bibliografia

• Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.