Różniczka zupełna

Różniczką zupełną funkcji $P(q_1,q_2,...,q_n)$ nazywamy takie wyrażenie Pfaffa, że:

$dP = \sum_{i=1}^{n} {\frac{\partial P(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_i} dq_i }$

gdzie:

$\frac{\partial P(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_i}$ – pochodna cząstkowa funkcji P po zmiennej q_i

Pochodne mieszane

Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci:

$dP = \sum_{i=1}^{n} { f_i(q_1,q_2,...,q_n) dq_i }$

to jest ono różniczką zupełną, jeżeli dla każdego i i j zachodzi:

$\frac{\partial f_i(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_j} = \frac{\partial f_j(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_i}$

Ponieważ z definicji wiemy, że:

$f_i(q_1,q_2,...,q_n) = \frac{\partial P(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_i}$

to dla różniczki zupełnej funkcji $P(q_1,q_2,...,q_n)$ zachodzi:

$\frac{\partial P(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_j \partial q_i} = \frac{\partial P(q_1,q_2,...,q_n)}{\partial q_i \partial q_j}$

Prosty przykład

Na górnym wykresie widzimy przybliżenie funkcji (niebieska linia) za pomocą różnicy skończonej (żólta linia). Na dolnym wykresie jest "nieskończenie wiele razy powiększone otoczenie punktu x1" (fioletowy kwadracik z górnego wykresu). Na dolnym wykresie źółta linia nie została naniesiona. Na rysunku użyto dwóch równoważnych oznaczeń pochodnej $f'(x_1)=\frac{df(x_1)}{dx_1}$ ponadto oznaczono $\Delta f = f(x_1+\Delta x) - f(x_1)$

Przypadek 1D, intuicyjne przedstawienie

Mamy funkcje $f(x)$ oraz jej pochodną $f'(x)$ różniczka zupełna będzie miała postać $df(x)=f'(x)dx$. Na wykresach został przedstawiony przykład przybliżenia funkcj za pomoca różnic skończonych oraz ta sama sytuacja ale z punktu widzenia różniczkowego (przybliżenie wartości funkcji staje się wówczas dokładną wartością gdyż w "świecie różcznikowym" nie ma krzywizny(dla funkcji gładkich) - wszystko staje się proste). Gdy $\Delta x \rightarrow 0$ to ze świata różnic skończonych wkraczamy w świat różniczek dostając $dx$ które jest dowolnie małe (infinitezymalne czyli mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej ale większe od zera), wykresy przybliżają jak należy intuicyjnie pojmować czym są różniczki. Tak jak $\Delta f$ mówi o przyroście wartości funkcji w świecie różnic skończonych, tak $df$ mówi o infinitezymalnym przyroście funkcji w świecie różniczek.

Przypadek 2D

Dla funkcji dwóch zmiennych $f(x,y)$ różniczka zupełna ma postać:

$df(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}dx+ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}dy$

Różniczka zupełna pozwala przybliżać wartość funkcji gdy znamy $\Delta x, \Delta y$ oraz wartości pochodnych cząstkowych.

$\Delta f(x,y)=\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}\Delta x+ \frac{\partial f(x,y)}{\partial y}\Delta y$

Wówczas $f(x+\Delta x, y+\Delta y) \approx f(x,y)+\Delta f(x,y)$ Takie przybliżenia można używać np. do szacowania wielkości błędu gdy znamy błędy $\Delta x, \Delta y$.

Różniczki wyższych rzędów

Wyliczmy różcznikę $d^2f(x,y)$ korzystając z wzoru z przypadku 2D. W notacji zamiast pisać $f(x,y)$ piszemy f.

$d^2f=d(df)=d\left(\frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy\right) = \frac{\partial }{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy\right)dx+ \frac{\partial }{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}dx+ \frac{\partial f}{\partial y}dy\right)dy$

$=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}dx^2+\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}dydx+\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}dy^2=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}dx^2+2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}dxdy+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}dy^2$

Różniczka $d^3f(x,y)$ ma postać

$d^3f= \frac{\partial^3 f}{\partial x^3}dx^2+3\frac{\partial^3 f}{\partial x^2\partial y}dx^2dy+3\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y^2}dxdy^2+\frac{\partial^3 f}{\partial y^3}dy^3$

Jak widać wzory na różcznickę drugiego i trzeciego rzędu przypominają wzroy skóconego mnożenia dla $(x+y)^2$ oraz $(x+y)^3$, okazuje się że można w ten sposób napisać wzory na różniczkę n-tego rzędu (korzystając ze wzrou na dwumian Newtona).

Bibliografia

• Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.