Różniczka zupełna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Różniczką zupełną funkcji zmiennych niezależnych nazywamy takie wyrażenie Pfaffa, że:

gdzie:

  • pochodna cząstkowa funkcji po zmiennej
  • - różniczki zmiennych niezależnych czyli małe ich przyrosty

Przypadek funkcji jednej zmiennej[edytuj | edytuj kod]

Na górnym wykresie widzimy przybliżenie funkcji (niebieska linia) za pomocą różnicy skończonej (żółta linia). Na dolnym wykresie jest "nieskończenie wiele razy powiększone otoczenie punktu x1" (fioletowy kwadracik z górnego wykresu). Na dolnym wykresie żółta linia nie została naniesiona. Na rysunku użyto dwóch równoważnych oznaczeń pochodnej ponadto oznaczono

Jeżeli funkcja jest zależna od jednej zmiennej i jej pochodna jest określona, to różniczka zupełna ma postać

Na wykresach przedstawiono przykład przybliżenia funkcji za pomocą różnic skończonych oraz tą samą sytuację z punktu widzenia różniczkowego (przybliżenie wartości funkcji staje się wówczas dokładną wartością, gdyż w "świecie różniczkowym" fragment wykresu funkcji nie ma krzywizny, ale jest odcinkiem prostej): gdy , to

ze świata różnic skończonych wkraczamy w świat różniczek, dostając , które jest dowolnie małe (infinitezymalne, czyli mniejsze od każdej dodatniej liczby rzeczywistej, ale większe od zera).

Rysunki pokazują, jak należy intuicyjnie pojmować, czym są różniczki: tak jak mówi o przyroście wartości funkcji w świecie różnic skończonych, tak mówi o infinitezymalnym przyroście funkcji w świecie różniczek.

Przypadek funkcji dwóch zmiennych[edytuj | edytuj kod]

Dla funkcji dwóch zmiennych różniczka zupełna ma postać[1]:

Powyższe wyrażenie po zamianie różniczek na różnice skończone przyjmie postać przyrostu funkcji

Wówczas wartość funkcji można obliczyć w sposób przybliżony ze wzoru

Różniczki wyższych rzędów [2][edytuj | edytuj kod]

(1) Różniczkę drugiego rzędu oblicza się korzystając z wzoru z przypadku 2D. W notacji zamiast pisać piszemy

(2) Różniczka ma postać

(3) Jak widać wzory na różniczkę drugiego i trzeciego rzędu przypominają wzory skróconego mnożenia dla oraz . Okazuje się, że można w ten sposób napisać wzory na różniczkę n-tego rzędu (korzystając ze wzoru na dwumian Newtona).

Twierdzenie o istnieniu różniczki zupełnej[edytuj | edytuj kod]

Tw. Jeżeli mamy dane wyrażenie Pfaffa postaci

gdzie - dane funkcje zmiennych

to jest ono różniczką zupełną pewnej funkcji , jeżeli dla każdego zachodzi:

Dowód:

Wychodząc z wyrażenia na różniczkę zupełną widzimy, że funkcje mają postacie

i powyższy warunek na istnienie różniczki zupełnej funkcji sprowadza się do żądania, by równe były pochodne cząstkowe drugiego rzędu

- wymóg ten jest zawsze spełniony, jeżeli istnieją powyższe pochodne, cnd.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Igor N. Bronsztejn, Konstantin A. Siemiendiajew: Matematyka, poradnik encyklopedyczny. Wyd. XIV. Warszawa: Państwowe wydawnictwo naukowe PWN, 1997. ISBN 83-01-11658-7.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]