Róg Gabriela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Model rogu Gabriela

Róg Gabriela (lub trąbka Torricellego) – bryła geometryczna, opisana przez Evangelistę Torricellego, o nieskończonej powierzchni zewnętrznej, ale skończonej objętości. Nazwą nawiązuje do archanioła Gabriela, który wg tradycji chrześcijańskiej ma ogłosić Sąd Ostateczny zadęciem w róg.

Konstrukcja[edytuj]

Rzut boczny rogu Gabriela

Róg Gabriela jest bryłą obrotową ograniczoną przez powierzchnię powstałą w wyniku obrotu wokół osi OX wykresu funkcji

określonej w przedziale . Dzięki doborowi dziedziny funkcji wykres tej funkcji ma tylko jedną asymptotę, którą jest oś rogu Gabriela.

Objętość i pole powierzchni[edytuj]

W celu wyznaczenia objętości i pola powierzchni rozważa się bryłę obrotową powstałą przez obrót wykresu funkcji określonej w przedziale . Wówczas objętość i pole tej bryły wynoszą odpowiednio:

Granica funkcji przy istnieje i jest skończona, dokładniej:

Oznacza to, że róg Gabriela ma objętość równą .

Funkcja ma granicę równą przy , tzn.

.

Z powyższego wynika, że pole powierzchni rogu Gabriela jest nieskończone. Odkrycie opisanych wyżej własności rogu Gabriela nastąpiło w wyniku zastosowania zasady Cavalieriego, jeszcze przed pojawieniem się rachunku różniczkowego i całkowego.

Paradoks malarzy[edytuj]

Istnienie takiej bryły uznano za paradoks, ponieważ obracając nieskończoną krzywą dookoła osi x uzyskuje się skończoną objętość. Często jest on nazywany paradoksem malarzy, ponieważ do pomalowania takiej powierzchni potrzebna jest nieskończona ilość farby, ale wystarczy skończona ilość farby, aby napełnić naczynie o takim kształcie.

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]