Róg Gabriela

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Model rogu Gabriela

Róg Gabriela (lub trąbka Torricellego) – bryła geometryczna, opisana przez Evangelistę Torricellego, o nieskończonej powierzchni zewnętrznej, ale skończonej objętości. Nazwą nawiązuje do archanioła Gabriela, który ogłosi Sąd Ostateczny zadęciem w róg.

Konstrukcja[edytuj]

Rzut boczny rogu Gabriela

Powierzchnię obrotową powstałą w wyniku obrotu wokół osi OX wykresu funkcji

w przedziale x ≥ 1 nazywa się rogiem Gabriela. Dziedzina funkcji jest tak dobrana aby można było uniknąć asymptoty w punkcie x = 0.

Objętość a pole powierzchni[edytuj]

Używając rachunku różniczkowego i całkowego można wykazać, że objętość i pole powierzchni obrotowej, powstałej poprzez obrót wykresu funkcji w przedziale 1 ≤ xa, gdzie jest dowolną liczbą rzeczywistą wynoszą odpowiednio

Granica funkcji przy istnieje i jest skończona, dokładniej:

Oznacza to, że róg Gabriela ma objętość równą .

Funkcja ma granicę równą przy , tzn.

.

Z powyższego wynika, że pole powierzchni rogu Gabriela jest nieskończone. Odkrycie opisanych wyżej własności rogu Gabriela nastąpiło w wyniku zastosowania zasady Cavalieriego, jeszcze przed pojawieniem się rachunku różniczkowego i całkowego.

Paradoks malarzy[edytuj]

Istnienie takiej bryły uznano za paradoks, ponieważ obracając nieskończoną krzywą dookoła osi x uzyskuje się skończoną objętość. Często jest on nazywany paradoksem malarzy, ponieważ do pomalowania takiej powierzchni potrzebna jest nieskończona ilość farby, ale wystarczy skończona ilość farby, aby napełnić naczynie o takim kształcie.

Paradoks powstaje, ponieważ długość "pierścieni" całkowanych w celu znalezienia powierzchni jest o jeden wymiar mniejsza niż powierzchnia "plastrów" całkowanych w celu znalezienia objętości całkowitej. Ponieważ , to:

Oznacza to, że z rosnącym x numeryczna wielkość "plastrów" (odpowiadających za objętość) jest znacznie mniejsza niż "pasków" (odpowiadających za pole). Po całkowaniu (jak pokazano powyżej) wynika, że objętość zmierza, ale nigdy nie przekracza wartości .

Zobacz też[edytuj]

Linki zewnętrzne[edytuj]