Równania Eulera-Lagrange’a, równania Lagrange’a – równania cząstkowe drugiego rzędu, których rozwiązaniami są funkcje, dla których funkcjonał (zadany całką oznaczoną) jest stacjonarny. Stanowią podstawowe równania rachunku wariacyjnego.
Np. dla funkcjonału
zależnego od funkcji jednej zmiennej
i jej pierwszej pochodnej

równania Eulera-Lagrange’a przyjmują postać:

Rozwiązaniami tego równania są funkcje
dla których
jest stacjonarne, tj. dla funkcji
niewiele odchylającej się od funkcji optymalnej
wartość funkcjonału
zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby
przyjmowało dla
ekstremum.
Postać równań Eulera-Lagrange’a w ogólniejszych przypadkach (wiele funkcji, wiele zmiennych, pochodne wyższych rzędów) omówiono w dalszych rozdziałach artykułu.
Równanie Eulera-Lagrange’a zostało wprowadzone przez Leonharda Eulera i Josepha Louisa Lagrange’a w latach 1750 podczas prac związanych z problemem tautochrony.
Lagrange znalazł rozwiązanie tego problemu w 1755 i przesłał je Eulerowi. Obaj rozwijali dalej tę metodę i zastosowali ją w mechanice, co doprowadziło do sformułowania mechaniki lagranżowskiej. Dzięki ich współpracy powstał rachunek wariacyjny (nazwę tę wymyślił Euler w 1766)[1].
Równania Eulera-Lagrange’a stosuje się w rachunku wariacyjnym, na przykład szukając najkrótszej drogi (geodezyjnej), biegu promienia światła, czyli linii, dla której droga optyczna jest najkrótsza (zasada Fermata) albo do minimalizacji energii potencjalnej układu (np. krzywa łańcuchowa).
Zgodnie z zasadą Hamiltona układ fizyczny porusza się po takiej trajektorii, że działanie
obliczone dla ruchu od chwili
do chwili
jest stacjonarne, przy czym

gdzie:
– czas,
– lagrangian.
W mechanice klasycznej lagrangian ma postać:

gdzie:
– energia kinetyczna układu,
– energia potencjalna układu.
Aby
było stacjonarne,
musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a dla każdej zmiennej stanu

gdzie:

Wyrażenia występujące w równaniach Eulera-Lagrange’a mają swoje nazwy:
– siła uogólniona (jej
-ta składowa),
– pęd uogólniony (jego
-ta składowa).
Maszyna Atwooda.

i

to odległości ciał o masach odpowiednio

i

od poziomu osi krążka. Do opisu układu potrzebne są dwie współrzędne stanu (

i

).
Mamy układ dwóch mas
w stałym polu grawitacyjnym
przewieszonych przez nieważki krążek. Linka, na której wiszą również jest nieważka i nierozciągliwa.
Chcemy znaleźć równania ruchu tych mas.
Mamy:


czyli lagrangian ma postać:

A ponieważ linka jest nierozciągliwa
gdzie C jest pewną stałą związana z długością linki. Otrzymujemy lagrangian zależny tylko od jednej współrzędnej:

Składowe równania Eulera-Lagrange’a:


Z równania Eulera-Lagrange’a:

Rozwiązując względem
otrzymujemy stałe przyspieszenie:

Całkując powyższe równanie dwukrotnie, otrzymamy:

gdzie
i
to prędkość i położenie masy
w chwili
Trajektorię drugiego ciała łatwo teraz wyznaczyć:

Osobny artykuł: Brachistochrona.
Brachistochrona to taka krzywa łącząca punkty A i B, że czas ruchu masy punktowej od punktu A do B pod wpływem siły ciężkości
jest minimalny. Problem znajdowania takiej krzywej można rozwiązać przy użyciu równania Eulera-Lagrange’a. W tym przypadku szukamy takiej krzywej
żeby czas
był minimalny.

gdzie:
– prędkość ciała, której zależność od
wynika z zasady zachowania energii,
– różniczka drogi.
Podstawiając, otrzymujemy:

gdzie:

Czas ruchu będzie minimalny dla krzywej
spełniającej równanie Eulera-Lagrange’a:

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy brachistochronę:


gdzie
to stała zależna od warunków brzegowych, czyli od punktów A i B.
Osobny artykuł: Krzywa łańcuchowa.
Równanie Eulera-Lagrange’a pozwala także wyznaczyć krzywą łańcuchową[2], która opisuje kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej między dwoma punktami A i B w jednorodnym polu grawitacyjnym
Układ mechaniczny jest w równowadze, gdy jego energia potencjalna jest minimalna. Energia potencjalna wynosi:

gdzie:
– gęstość liniowa linki,
– różniczka długości krzywej.
Podstawiając, otrzymujemy:

gdzie:

Aby energia potencjalna była minimalna,
musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a:

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy postać krzywej łańcuchowej:

gdzie
jest stałą zależną od długości liny i położenia punktów A i B.
Niech
będzie ciągłą funkcją parametru
o zadanych warunkach początkowych i końcowych:
i 
Mamy daną funkcję
i szukamy takich
żeby
było stacjonarne.
Załóżmy, że
jest takim rozwiązaniem.
Wprowadźmy do rozważań parametr
niezależny od czasu oraz funkcję ciągłą
taką, że
oraz
Jeżeli przyjmiemy, że
to zagadnienie sprowadzi się do analizy funkcji jednej zmiennej

Gdy
jest stacjonarne, to

– twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki).
Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, otrzymujemy:

Całkując drugi człon przez części, mamy:
![{\displaystyle 0=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\varphi {\frac {\partial L}{\partial x}}dt+\left[\varphi (t){\frac {\partial L}{\partial x'}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\varphi {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial x'}}dt.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0328e6ee36ca757be267f2ffd1b09896f7d7e02)
Ponieważ
dla każdego
więc
Podobnie
Wobec tego
i stąd

Ponieważ warunek ten musi być spełniony dla dowolnej funkcji
więc otrzymamy równanie

stanowiące warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału
Uogólnienia dla kilku funkcji, kilku zmiennych, wyższych pochodnych[edytuj | edytuj kod]
Pojedyncza funkcja jednej zmiennej z wyższymi pochodnymi[edytuj | edytuj kod]
Wartość stacjonarna funkcjonału
![{\displaystyle I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x;\;\;f':={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},\;\;f'':={\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},\;\;f^{(k)}:={\frac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3d9affc34e09d8baa42a4b0574c3ff478d72bc1)
można otrzymać z równań Eulera-Lagrange’a postaci

przy ustalonych warunkach brzegowych dla funkcji i jej pochodnych od pierwszej do
(tj. dla
). Punkty brzegowe pochodnej
są dowolne.
Kilka funkcji jednej zmiennej z pochodną I rzędu[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli mamy funkcje
zmiennej
to szukamy extremum funkcjonału
![{\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')\mathrm {d} x;\;\;f_{i}':={\frac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8990983282cef43eca2c957523ed45dd7ec63f)
Równania Eulera-Lagrange’a mają postać

Pojedyncza funkcja kilku zmiennych z pochodną I rzędu[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli funkcja zależy od wielu zmiennych jest określona na pewnej powierzchni
to
![{\displaystyle I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{,1},\dots ,f_{,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} ;\;\;f_{,j}:={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91aab582d6eb24164b2ec98cc23cf200cff1537)
osiąga ekstremum, gdy

Dla
funkcjonał
jest funkcjonałem energii; ekstremum jest powierzchnią minimalną (np. bańki mydlanej).
Kilka funkcji kilku zmiennych z pochodnymi I rzędu[edytuj | edytuj kod]
Jeśli trzeba wyznaczyć kilka nieznanych funkcji o wielu zmiennych, takich że
![{\displaystyle I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a413128dcae9d4a910c4b86736e98b85278a9b5)

to układ równań Eulera-Lagrange’a ma postać

Pojedyncza funkcja o 2 zmiennych z wyższymi pochodnymi[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli nieznana funkcja
zależy od dwóch zmiennych
oraz
i jeżeli funkcjonał zależy od wyższych pochodnych funkcji – od pierwszej aż do
-tej, tj.
![{\displaystyle {\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{,1},f_{,2},f_{,11},f_{,12},f_{,22},\dots ,f_{,22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{,i}:={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{,ij}:={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/754eab16b05ab9029696a36a6b3c2afd6967234d)
to równanie Eulera-Lagrange’a ma postać

co można krótko zapisać w postaci

gdzie
są indeksami które przebiegają od 1 do liczny zmiennych, np. tutaj przyjmują wartości od 1do 2. Sumowanie po indeksach
jest takie, że
tzn. nie może być sumowania tej samej pochodnej cząstkowej dwa razy – po przestawieniu kolejności zmiennych; np.
pojawia się tylko jeden raz.
Kilka funkcji o kilku zmiennych z wyższymi pochodnymi[edytuj | edytuj kod]
Jeżeli jest
nieznanych funkcji
zależnych od
zmiennych
oraz funkcjonał zależy od pochodnych tych funkcji aż do
-tego rzędu, tj.
![{\displaystyle {\begin{aligned}I[f_{1},\dots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n};f_{1},\dots ,f_{p};f_{1,1},\dots ,f_{p,m};f_{1,11},\dots ,f_{p,mm};\dots ;f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95749752a2172e30ead1d83a4d39baa63ef30ac1)
gdzie
są indeksami o wartościach od 1 do m (tj. do liczby zmiennych), to równania Eulera-Lagrange’a mają postać

gdzie sumowanie po indeksach
jest takie, by nie powtarzać sumowania samych pochodnych cząstkowych
kilka razy (podobnie jak w podrozdziale powyżej). Można to wyrazić w bardziej zwarty sposób w postaci:

Niech
będzie gładką rozmaitością oraz niech
oznacza przestrzeń funkcji gładkich
Wtedy dla funkcjonałów
w postaci
![{\displaystyle S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c3fbbeb90da569dd81f811661c519bb9d8c34e)
gdzie
jest lagrangianem wyrażenie
jest równoważne warunkowi, że dla wszystkich
każdy układ
w sąsiedztwie
prowadzi do
o równaniach:
