Równania Eulera-Lagrange’a

Równania Eulera-Lagrange’a, równania Lagrange’a – równania cząstkowe drugiego rzędu, których rozwiązaniami są funkcje, dla których funkcjonał (zadany całką oznaczoną) jest stacjonarny. Stanowią podstawowe równania rachunku wariacyjnego.

Np. dla funkcjonału $S$ zależnego od funkcji jednej zmiennej $x(t)$ i jej pierwszej pochodnej $x'(t)$

$S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(x(t),x'(t),t)dt$

równania Eulera-Lagrange’a przyjmują postać:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial x'}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x}}=0.$

Rozwiązaniami tego równania są funkcje $x(t),$ dla których $S$ jest stacjonarne, tj. dla funkcji $x_{odch}(t)$ niewiele odchylającej się od funkcji optymalnej $x(t)$ wartość funkcjonału $S$ zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby $S$ przyjmowało dla $x(t)$ ekstremum.

Postać równań Eulera-Lagrange’a w ogólniejszych przypadkach (wiele funkcji, wiele zmiennych, pochodne wyższych rzędów) omówiono w dalszych rozdziałach artykułu.

Historia

Równanie Eulera-Lagrange’a zostało wprowadzone przez Leonharda Eulera i Josepha Louisa Lagrange’a w latach 1750 podczas prac związanych z problemem tautochrony. Lagrange znalazł rozwiązanie tego problemu w 1755 i przesłał je Eulerowi. Obaj rozwijali dalej tę metodę i zastosowali ją w mechanice, co doprowadziło do sformułowania mechaniki lagranżowskiej. Dzięki ich współpracy powstał rachunek wariacyjny (nazwę tę wymyślił Euler w 1766).

Zastosowania

Równania Eulera-Lagrange’a stosuje się w rachunku wariacyjnym, na przykład szukając najkrótszej drogi (geodezyjnej), biegu promienia światła, czyli linii, dla której droga optyczna jest najkrótsza (zasada Fermata) albo do minimalizacji energii potencjalnej układu (np. krzywa łańcuchowa).

Mechanika klasyczna

Zgodnie z zasadą Hamiltona układ fizyczny porusza się po takiej trajektorii, że działanie $S$ obliczone dla ruchu od chwili $t=t_{1}$ do chwili $t=t_{2}$ jest stacjonarne, przy czym

$S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}Ldt,$

gdzie:

$t$ – czas,

$L$ – lagrangian.

W mechanice klasycznej lagrangian ma postać:

$L=E_{kin}-E_{pot},$

gdzie:

$E_{kin}$ – energia kinetyczna układu,

$E_{pot}$ – energia potencjalna układu.

Aby $S$ było stacjonarne, $L$ musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a dla każdej zmiennej stanu $q_{k}(t){:}$

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q_{k}}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=0,$

gdzie:

${\dot {q_{k}}}={\frac {dq_{k}}{dt}}.$

Wyrażenia występujące w równaniach Eulera-Lagrange’a mają swoje nazwy:

${\frac {\partial L}{\partial q_{k}}}=F_{k}$ – siła uogólniona (jej $k$-ta składowa),

${\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{k}}}=p_{k}$ – pęd uogólniony (jego $k$-ta składowa).

Przykład: Maszyna Atwooda

Maszyna Atwooda. $x_{1}$ i $x_{2}$ to odległości ciał o masach odpowiednio $m_{1}$ i $m_{2}$ od poziomu osi krążka. Do opisu układu potrzebne są dwie współrzędne stanu ($x_{1}$ i $x_{2}$).

Mamy układ dwóch mas $m_{1}$ $m_{2}$ w stałym polu grawitacyjnym ${\vec {g}}$ przewieszonych przez nieważki krążek. Linka, na której wiszą również jest nieważka i nierozciągliwa. Chcemy znaleźć równania ruchu tych mas.

Mamy:

$E_{kin}={\frac {m_{1}{\dot {x_{1}}}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}{\dot {x_{2}}}^{2}}{2}},$

$E_{pot}=m_{1}g(-x_{1})+m_{2}g(-x_{2}),$

czyli lagrangian ma postać:

$L=E_{kin}-E_{pot}={\frac {m_{1}{\dot {x_{1}}}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}{\dot {x_{2}}}^{2}}{2}}+m_{1}gx_{1}+m_{2}gx_{2}.$

A ponieważ linka jest nierozciągliwa $x_{1}=-x_{2}+C,$ gdzie C jest pewną stałą związana z długością linki. Otrzymujemy lagrangian zależny tylko od jednej współrzędnej:

$L={\frac {(m_{1}+m_{2}){\dot {x_{1}}}^{2}}{2}}+(m_{1}-m_{2})gx_{1}+m_{2}gC.$

Składowe równania Eulera-Lagrange’a:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{1}}}}}\right)={\frac {d}{dt}}\left({(m_{1}+m_{2}){\dot {x_{1}}}}\right)={(m_{1}+m_{2}){\ddot {x_{1}}}},$

${\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}=(m_{1}-m_{2})g.$

Z równania Eulera-Lagrange’a:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x_{1}}}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial x_{1}}}={(m_{1}+m_{2}){\ddot {x_{1}}}}-(m_{1}-m_{2})g=0.$

Rozwiązując względem ${\ddot {x_{1}}},$ otrzymujemy stałe przyspieszenie:

${\ddot {x_{1}}}={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g.$

Całkując powyższe równanie dwukrotnie, otrzymamy:

$x_{1}(t)={\frac {m_{1}-m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g{\frac {t^{2}}{2}}+v_{1}(0)t+x_{1}(0),$

gdzie $v_{1}(0)$ i $x_{1}(0)$ to prędkość i położenie masy $m_{1}$ w chwili $t=0.$

Trajektorię drugiego ciała łatwo teraz wyznaczyć:

$x_{2}(t)=-x_{1}(t)+C.$

Brachistochrona

Brachistochrona to taka krzywa łącząca punkty A i B, że czas ruchu masy punktowej od punktu A do B pod wpływem siły ciężkości $mg$ jest minimalny. Problem znajdowania takiej krzywej można rozwiązać przy użyciu równania Eulera-Lagrange’a. W tym przypadku szukamy takiej krzywej $y(x),$ żeby czas $t$ był minimalny.

$t=\int \limits _{A}^{B}{\frac {ds}{v}},$

gdzie:

$v={\sqrt {2gy}}$ – prędkość ciała, której zależność od $y$ wynika z zasady zachowania energii,

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {(x'(y))^{2}+1}}dy$ – różniczka drogi.

Podstawiając, otrzymujemy:

$t={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int \limits _{A}^{B}{\sqrt {\frac {{x'(y)}^{2}+1}{y}}}dy={\frac {1}{\sqrt {2g}}}\int \limits _{A}^{B}fdy,$

gdzie:

$f={\sqrt {\frac {{x'(y)}^{2}+1}{y}}}.$

Czas ruchu będzie minimalny dla krzywej $x(y)$ spełniającej równanie Eulera-Lagrange’a:

${\frac {d}{dy}}{\frac {\partial f}{\partial x'}}-{\frac {\partial f}{\partial x}}=0.$

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy brachistochronę:

$x(\theta )={\frac {1}{2}}k^{2}(\theta -sin\theta ),$

$y(\theta )={\frac {1}{2}}k^{2}(1-cos\theta ),$

gdzie $k$ to stała zależna od warunków brzegowych, czyli od punktów A i B.

Krzywa łańcuchowa

Równanie Eulera-Lagrange’a pozwala także wyznaczyć krzywą łańcuchową, która opisuje kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej między dwoma punktami A i B w jednorodnym polu grawitacyjnym $g.$ Układ mechaniczny jest w równowadze, gdy jego energia potencjalna jest minimalna. Energia potencjalna wynosi:

$E_{pot}=\int \limits _{A}^{B}\rho gy(x)ds,$

gdzie:

$\rho$ – gęstość liniowa linki,

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}={\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}dx$ – różniczka długości krzywej.

Podstawiając, otrzymujemy:

$E_{pot}=\rho g\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}y{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}dx=\rho g\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}fdx,$

gdzie:

$f=y{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}.$

Aby energia potencjalna była minimalna, $f$ musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a:

${\frac {d}{dx}}{\frac {\partial f}{\partial y'}}-{\frac {\partial f}{\partial y}}=0.$

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy postać krzywej łańcuchowej:

$y(x)=a\,\cosh \left({\frac {x}{a}}\right),$

gdzie $a$ jest stałą zależną od długości liny i położenia punktów A i B.

Dowód

Niech $x$ będzie ciągłą funkcją parametru $t$ o zadanych warunkach początkowych i końcowych:

$x\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}$ i $x(t_{1})=x_{1},x(t_{2})=x_{2}.$

Mamy daną funkcję $L(x,x',t)$ i szukamy takich $x(t),$ żeby $S[x]=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}Ldt$ było stacjonarne. Załóżmy, że $x_{0}$ jest takim rozwiązaniem.

Wprowadźmy do rozważań parametr $\alpha \in \mathbb {R}$ niezależny od czasu oraz funkcję ciągłą $\varphi (t)$ taką, że $\varphi (t_{1})=0$ oraz $\varphi (t_{2})=0.$ Jeżeli przyjmiemy, że $x=x_{0}+\alpha \varphi ,$ to zagadnienie sprowadzi się do analizy funkcji jednej zmiennej $\alpha$

$S(\alpha )=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}L(x_{0}+\alpha \varphi ,{x_{0}}'+\alpha \varphi ',t)dt.$

Gdy $S$ jest stacjonarne, to

${\frac {dS}{d\alpha }}=0.$

${\frac {dS}{d\alpha }}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {\partial L}{\partial \alpha }}dt$ – twierdzenie Leibniza (o różniczkowaniu pod znakiem całki).

Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej, otrzymujemy:

$0={\frac {dS}{d\alpha }}=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}(\varphi {\frac {\partial L}{\partial x}}+\varphi '{\frac {\partial L}{\partial x'}})dt=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\varphi {\frac {\partial L}{\partial x}}dt+\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\varphi '{\frac {\partial L}{\partial x'}}dt.$

Całkując drugi człon przez części, mamy:

$0=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\varphi {\frac {\partial L}{\partial x}}dt+\left[\varphi (t){\frac {\partial L}{\partial x'}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\varphi {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial x'}}dt.$

Ponieważ $x(t_{1})=x_{1}$ dla każdego $x,$ więc $\varphi (t_{1})=0.$ Podobnie $\varphi (t_{2})=0.$ Wobec tego $\left[\varphi (t){\frac {\partial L}{\partial x'}}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}=0$ i stąd

$0=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\varphi \left({\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial x'}}\right)dt.$

Ponieważ warunek ten musi być spełniony dla dowolnej funkcji $\varphi (t),$ więc otrzymamy równanie

${\frac {\partial L}{\partial x}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial x'}}=0$

stanowiące warunek konieczny istnienia ekstremum funkcjonału $S[x].$

Uogólnienia dla kilku funkcji, kilku zmiennych, wyższych pochodnych

Pojedyncza funkcja jednej zmiennej z wyższymi pochodnymi

Wartość stacjonarna funkcjonału

$I[f]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f,f',f'',\dots ,f^{(k)})~\mathrm {d} x;\;\;f':={\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} x}},\;\;f'':={\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} x^{2}}},\;\;f^{(k)}:={\frac {\mathrm {d} ^{k}f}{\mathrm {d} x^{k}}}$

można otrzymać z równań Eulera-Lagrange’a postaci

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f'}}\right)+{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f''}}\right)-\dots +(-1)^{k}{\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} x^{k}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f^{(k)}}}\right)=0,$

przy ustalonych warunkach brzegowych dla funkcji i jej pochodnych od pierwszej do $k-1$ (tj. dla $f^{(i)},i\in \{0,\dots ,k-1\}$). Punkty brzegowe pochodnej $f^{(k)}$ są dowolne.

Kilka funkcji jednej zmiennej z pochodną 1-go rzędu

Jeżeli mamy funkcje $(f_{1},f_{2},\dots ,f_{m})$ zmiennej $(x)$ to szukamy extremum funkcjonału

$I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{x_{0}}^{x_{1}}{\mathcal {L}}(x,f_{1},f_{2},\dots ,f_{m},f_{1}',f_{2}',\dots ,f_{m}')\mathrm {d} x;\;\;f_{i}':={\frac {\mathrm {d} f_{i}}{\mathrm {d} x}}.$

Równania Eulera-Lagrange’a mają postać

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}'}}\right)=0,\quad i=1,2,\dots ,m.$

Pojedyncza funkcja kilku zmiennych z pochodną 1-go rzędu

Jeżeli funkcja zależy od wielu zmiennych jest określona na pewnej powierzchni $\Omega ,$ to

$I[f]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f,f_{,1},\dots ,f_{,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x} ;\;\;f_{,j}:={\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}$

osiąga ekstremum, gdy

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{,j}}}\right)=0.$

Dla $n=2$ funkcjonał ${\mathcal {I}}$ jest funkcjonałem energii; ekstremum jest powierzchnią minimalną (np. bańki mydlanej).

Kilka funkcji kilku zmiennych z pochodnymi 1-go rzędu

Jeśli trzeba wyznaczyć kilka nieznanych funkcji o wielu zmiennych, takich że

$I[f_{1},f_{2},\dots ,f_{m}]=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n},f_{1},\dots ,f_{m},f_{1,1},\dots ,f_{1,n},\dots ,f_{m,1},\dots ,f_{m,n})\,\mathrm {d} \mathbf {x}$

$f_{i,j}:={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}},$

to układ równań Eulera-Lagrange’a ma postać

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{1,j}}}\right)&=0_{1},\\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{2,j}}}\right)&=0_{2},\\\vdots \qquad \qquad \\{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m}}}-\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{m,j}}}\right)&=0_{m}.\end{aligned}}$

Pojedyncza funkcja o 2 zmiennych z wyższymi pochodnymi

Jeżeli nieznana funkcja $f$ zależy od dwóch zmiennych $x_{1}$ oraz $x_{2}$ i jeżeli funkcjonał zależy od wyższych pochodnych funkcji – od pierwszej aż do $n$-tej, tj.

${\begin{aligned}I[f]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},x_{2},f,f_{,1},f_{,2},f_{,11},f_{,12},f_{,22},\dots ,f_{,22\dots 2})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{,i}:={\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\;,\quad f_{,ij}:={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}$

to równanie Eulera-Lagrange’a ma postać

${\begin{aligned}&{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}-{\frac {\partial }{\partial x_{1}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{,1}}}\right)-{\frac {\partial }{\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{,2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{,11}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}\partial x_{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{,12}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{2}^{2}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{,22}}}\right)\\&-\dots +(-1)^{k}{\frac {\partial ^{k}}{\partial x_{2}^{k}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{,22\dots 2}}}\right)=0,\end{aligned}}$

co można krótko zapisać w postaci

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leqslant \ldots \leqslant \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0,$

gdzie $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ są indeksami które przebiegają od 1 do liczny zmiennych, np. tutaj przyjmują wartości od 1do 2. Sumowanie po indeksach $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ jest takie, że $\mu _{1}\leqslant \mu _{2}\leqslant \ldots \leqslant \mu _{j}$ tzn. nie może być sumowania tej samej pochodnej cząstkowej dwa razy – po przestawieniu kolejności zmiennych; np. $f_{,12}=f_{,21}$ pojawia się tylko jeden raz.

Kilka funkcji o kilku zmiennych z wyższymi pochodnymi

Jeżeli jest $p$ nieznanych funkcji $f_{i}$ zależnych od $m$ zmiennych $x_{1}\dots x_{m}$ oraz funkcjonał zależy od pochodnych tych funkcji aż do $n$-tego rzędu, tj.

${\begin{aligned}I[f_{1},\dots ,f_{p}]&=\int _{\Omega }{\mathcal {L}}(x_{1},\dots ,x_{n};f_{1},\dots ,f_{p};f_{1,1},\dots ,f_{p,m};f_{1,11},\dots ,f_{p,mm};\dots ;f_{p,m\ldots m})\,\mathrm {d} \mathbf {x} \\&\qquad \quad f_{i,\mu }:={\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{\mu }}}\;,\quad f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}:={\frac {\partial ^{2}f_{i}}{\partial x_{\mu _{1}}\partial x_{\mu _{2}}}}\;,\;\;\dots \end{aligned}}$

gdzie $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ są indeksami o wartościach od 1 do m (tj. do liczby zmiennych), to równania Eulera-Lagrange’a mają postać

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i}}}+\sum _{j=1}^{n}\sum _{\mu _{1}\leqslant \ldots \leqslant \mu _{j}}(-1)^{j}{\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{\mu _{1}}\dots \partial x_{\mu _{j}}}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0,$

gdzie sumowanie po indeksach $\mu _{1}\dots \mu _{j}$ jest takie, by nie powtarzać sumowania samych pochodnych cząstkowych $f_{i,\mu _{1}\mu _{2}}=f_{i,\mu _{2}\mu _{1}}$ kilka razy (podobnie jak w podrozdziale powyżej). Można to wyrazić w bardziej zwarty sposób w postaci:

$\sum _{j=0}^{n}\sum _{\mu _{1}\leqslant \ldots \leqslant \mu _{j}}(-1)^{j}\partial _{\mu _{1}\ldots \mu _{j}}^{j}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial f_{i,\mu _{1}\dots \mu _{j}}}}\right)=0.$

Uogólnienia na rozmaitości

Niech $M$ będzie gładką rozmaitością oraz niech $C^{\infty }([a,b])$ oznacza przestrzeń funkcji gładkich $f\colon [a,b]\to M.$ Wtedy dla funkcjonałów $S\colon C^{\infty }([a,b])\to \mathbb {R}$ w postaci

$S[f]=\int _{a}^{b}(L\circ {\dot {f}})(t)\,\mathrm {d} t,$

gdzie $L\colon TM\to \mathbb {R}$ jest lagrangianem wyrażenie $\mathrm {d} S_{f}=0$ jest równoważne warunkowi, że dla wszystkich $t\in [a,b],$ każdy układ $(x^{i},X^{i})$ w sąsiedztwie ${\dot {f}}(t)$ prowadzi do $\dim M$ o równaniach:

$\forall i\colon {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial F}{\partial X^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}={\frac {\partial F}{\partial x^{i}}}{\bigg |}_{{\dot {f}}(t)}.$

Bibliografia

• W.I. Arnold: Metody matematyczne mechaniki klasycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1981, s. 56–61. ISBN 83-01-00143-7.
• John R. Taylor: Mechanika klasyczna. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 212–271. ISBN 978-83-01-14674-0.