Równania Eulera-Lagrange’a

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równania Eulera-Lagrange’a, równania Lagrange’a – podstawowe równanie rachunku wariacyjnego, którego rozwiązaniami są funkcje, dla których pewne wyrażenie dane całką oznaczoną jest stacjonarne.

Dla funkcjonału:

rozwiązaniem równania Eulera-Lagrange’a:

są funkcje dla których jest stacjonarne. To znaczy, że dla niewielkich odchyleń zmienia się nieznacznie. Jest to warunkiem koniecznym, żeby przyjmowało dla ekstremum.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Równanie Eulera-Lagrange’a zostało wprowadzone przez Leonharda Eulera i Josepha Louisa Lagrange’a w latach 1750 podczas prac związanych z problemem tautochrony. Lagrange znalazł rozwiązanie tego problemu w 1755 i przesłał je Eulerowi. Obaj rozwijali dalej tę metodę i zastosowali ją w mechanice, co doprowadziło do sformułowania mechaniki lagranżowskiej. Dzięki ich współpracy powstał rachunek wariacyjny (nazwę tę wymyślił Euler w 1766)[1].

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Równania Eulera-Lagrange’a stosuje się w rachunku wariacyjnym, na przykład szukając najkrótszej drogi (geodezyjnej), biegu promienia światła, czyli linii dla której droga optyczna jest najkrótsza (zasada Fermata) albo do minimalizacji energii (krzywa łańcuchowa).

Mechanika klasyczna[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z zasadą Hamiltona układ zachowuje się tak, że działanie jest stacjonarne.

gdzie to czas, a to lagrangian. W mechanice klasycznej ma on postać:

gdzie:

– energia kinetyczna układu,
– energia potencjalna układu.

Aby było stacjonarne, musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a dla każdej zmiennej stanu :

gdzie

Wyrażenia występujące w równaniach Eulera-Lagrange’a mają swoje nazwy:

siła uogólniona (jej -ta składowa)
pęd uogólniony (jego -ta składowa)

Przykład: Maszyna Atwooda[edytuj | edytuj kod]

Maszyna Atwooda. i to odległości ciał o masach odpowiednio i od poziomu osi krążka. Do opisu układu potrzebne są dwie współrzędne stanu ( i ).

Mamy układ dwóch mas w stałym polu grawitacyjnym przewieszonych przez nieważki krążek. Linka, na której wiszą również jest nieważka i nierozciągliwa. Chcemy znaleźć równania ruchu tych mas.

Mamy:

Czyli lagrangian ma postać:

A ponieważ linka jest nierozciągliwa gdzie C jest pewną stałą związana z długością linki. Otrzymujemy lagrangian zależny tylko od jednej współrzędnej:

Składowe równania Eulera-Lagrange’a:

Z równania Eulera-Lagrange’a:

Rozwiązując względem otrzymujemy stałe przyspieszenie:

Całkując powyższe równanie dwukrotnie otrzymamy:

gdzie i to prędkość i położenie masy w chwili

Trajektorię drugiego ciała łatwo teraz wyznaczyć:

Brachistochrona[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Brachistochrona.

Brachistochrona to taka krzywa łącząca punkty A i B, że czas ruchu masy punktowej od punktu A do B pod wpływem siły ciężkości jest minimalny. Problem znajdowania takiej krzywej można rozwiązać przy użyciu równania Eulera-Lagrange’a. W tym przypadku szukamy takiej krzywej żeby czas był minimalny.

gdzie

– prędkość ciała, której zależność od wynika z zasady zachowania energii,
różniczka drogi.

Podstawiając, otrzymujemy:

gdzie

Czas ruchu będzie minimalny dla krzywej spełniającej równanie Eulera-Lagrange’a:

Rozwiązując to równanie otrzymujemy brachistochronę:

gdzie to stała zależna od warunków brzegowych, czyli od punktów A i B.

Krzywa łańcuchowa[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Krzywa łańcuchowa.

Równanie Eulera-Lagrange’a pozwala także wyznaczyć krzywą łańcuchową[2], która opisuje kształt doskonale nierozciągliwej i nieskończenie wiotkiej liny o niezerowej masie swobodnie zwisającej między dwoma punktami A i B w jednorodnym polu grawitacyjnym Układ mechaniczny jest w równowadze, gdy jego energia potencjalna jest minimalna. Energia potencjalna wynosi:

gdzie

– gęstość liniowa linki,
różniczka długości krzywej.

Podstawiając, otrzymujemy:

gdzie

Aby energia potencjalna była minimalna, musi spełniać równanie Eulera-Lagrange’a:

Rozwiązując to równanie, otrzymujemy postać krzywej łańcuchowej:

gdzie jest stałą zależną od długości liny i położenia punktów A i B.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie funkcją parametru o zadanych warunkach początkowych i końcowych:

i

Mamy daną funkcję i szukamy takich żeby było stacjonarne. Załóżmy, że jest takim rozwiązaniem. Wtedy jeśli to jest małe w stosunku do (przybliżenie liniowe jest równe 0).

Jeśli wprowadzimy parametr niezależny od czasu i zapiszemy to zagadnienie sprowadza się do analizy funkcji jednej zmiennej oraz jeśli równanie jest stacjonarne, to

(twierdzenie Leibnitza)

Korzystając ze wzoru na pochodną funkcji złożonej:

Całkując drugi człon przez części, otrzymujemy:

Ponieważ dla każdego więc Podobnie Wobec tego

Ponieważ warunek ten musi być spełniony dla każdej funkcji więc wyrażenie musi być równe

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]