Równania Hamiltona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równania Hamiltonaukład równań opisujących zmianę w czasie współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego przy pomocy funkcji Hamiltona

gdzie:

- i-ty pęd uogólniony,

- i-ta współrzędna uogólniona,

s - liczba stopni swobody układu równa liczbie pędów uogólnionych lub liczbie współrzędnych uogólnionych.

Równania Hamiltona stanowią układ 2s równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu

Przy zapisie z użyciem nawiasów Poissona układ ten wygląda bardziej symetrycznie

Zbiór funkcji spełniających powyższy układ równań dla zadanych warunków początkowych (lub brzegowych) nazywa się trajektorią układu w przestrzeni fazowej.

Równania Hamiltona są jedną z alternatywnych postaci zapisu równań ruchu, obok równań ruchu mechaniki Newtona oraz równań Eulera-Lagrange'a mechaniki w ujęciu Lagrange'a.

Jak można udowodnić, równania Hamiltona np. dla układu z potencjałem skalarnym, tzn. wtedy kiedy pęd jest proporcjonalny do prędkości w przestrzeni konfiguracyjnej , są równoważne stwierdzeniu, że ciecz, której równania ruchu cząstek, z których się składa w przestrzeni fazowej, opisują równania Hamiltona, jest nieściśliwa, tzn. jej super-prędkość ma znikajacą dywergencję:

Zakładając, na wzór elektrodynamiki, istnienie skalarnego potencjału "wektorowego" , którego odpowiednik rotacji, jak permutacja gradientu z sygnaturą (jeden z wektorów prostopadłych do wektora całkowitego gradientu Hamiltonianu), zagwarantuje znikanie dywergencji podobnie jak w 3 wymiarach dla pól elektromagnetycznych, tzn. takiego że

otrzymujemy z twierdzenia Schwartza o przemienności pochodnych cząstkowych

Jak widać, także

jeśli zapiszemy równania Hamiltona symbolicznie w sposób skrócony:

co wyraża prostopadłość wektora prawej strony równań do gradientu Hamiltoniamu .

Przykład - oscylator harmoniczny[edytuj]

Hamiltonian jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o jednostkowej masie i częstości dany jest przez:

Przestrzeń fazowa jest więc dwuwymiarowa tzn. jest płaszczyzną.

Równania Hamiltona są więc:

Różniczkując drugie równanie po czasie i wstawiając do niego pierwsze otrzymujemy równanie Newtona:

z rozwiązaniem specjalnym

tzn.

Ogólne rozwiązanie na fizyczne rzeczywiste jest więc dane przez

a więc

Ponieważ

rozwiązanie to wyraża ruch punktu w przestrzeni fazowej po okręgu z częstoscią obiegu równą częstości oscylatora.

Jeśli teraz rozważymy zbiór wielu punktów o różnych w przestrzeni fazowej odpowiadajacy cieczy składajacej się z cząstek wypełniających przestrzeń fazową z jakąś gęstoscia początkowa i skoncentrujemy na jednym z nich to jeśli wszystkie punkty poruszają się po jakimś okregu z taką sama częstościa kołowa wtedy w otoczeniu wybranego punktu liczba innych punktow pozostanie stała co definiuje pierwotnie ciecz nieściśliwa (masa małego otoczenia sledzącego przepływ w małej stałej objętosci a tu w dwóch wymiarach na małej powierzchni jest stała).

Znaczy to także że tzw. funkcja Wignera która wyraża gęstość pędu i położenia dla stanu kwantowego w przypadku każdego stanu kwantowego oscylatora harmonicznego propagującego w czasie jedynie obraca się zachowując kształt.