Równania Hamiltona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równania Hamiltona - jedna z alternatywnych postaci zapisu równań ruchu, obok równań ruchu mechaniki Newtona oraz równań Eulera-Lagrange'a mechaniki w ujęciu Lagrange'a. Równania te wyrażają pochodne współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego po czasie przy pomocy funkcji Hamiltona układu.

Definicja równań Hamiltona[edytuj]

Równania Hamiltonaukład równań opisujących zmiany w czasie współrzędnych uogólnionych i pędów uogólnionych układu fizycznego wyrażonych przy pomocy funkcji Hamiltona

gdzie:

- i-ty pęd uogólniony,

- i-ta współrzędna uogólniona,

- liczba stopni swobody układu

- funkcja Hamiltona układu

Równania Hamiltona stanowią układ równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu.

Równania Hamiltona wyrażone przez nawiasy Poissona[edytuj]

Przy zapisie z użyciem nawiasów Poissona układ ten wygląda bardziej symetrycznie

Rozwiązania równań Hamiltona. Trajektoria układu[edytuj]

Rozwiązanie równań Hamiltona przy zadanych warunkach początkowych (lub brzegowych) daje zależności czasowe położeń i pędów uogólnionych od czasu. Punkt kreśli w przestrzeni fazowej trajektorią układu.

Twierdzenie[edytuj]

Jeżeli układ fizyczny znajduje się w polu oddziaływań o potencjale skalarnym, np. ciecz porusza się w polu grawitacyjnym, to pęd cząstek układu jest proporcjonalny do ich prędkości . Ponadto, jeżeli równania ruchu cząstek cieczy są równaniami Hamiltona, to ciecz ta jest nieściśliwa, tzn. jej super-prędkość ma znikającą dywergencję

gdzie

Zakładając, na wzór elektrodynamiki, istnienie skalarnego potencjału "wektorowego" , którego odpowiednik rotacji, jak permutacja gradientu z sygnaturą (jeden z wektorów prostopadłych do wektora całkowitego gradientu Hamiltonianu), zagwarantuje znikanie dywergencji podobnie jak w 3 wymiarach dla pól elektromagnetycznych, tzn. takiego że

otrzymujemy z twierdzenia Schwartza o przemienności pochodnych cząstkowych

Jak widać, także

jeśli zapiszemy równania Hamiltona symbolicznie w sposób skrócony:

co wyraża prostopadłość wektora prawej strony równań do gradientu Hamiltonianu .

Przykład - oscylator harmoniczny[edytuj]

Hamiltonian jednowymiarowego oscylatora harmonicznego o jednostkowej masie i częstości dany jest przez:

Przestrzeń fazowa jest więc dwuwymiarowa tzn. jest płaszczyzną.

Z równań Hamiltona otrzymamy:

Różniczkując drugie równanie po czasie i wstawiając do niego pierwsze otrzymujemy równanie Newtona:

Rozwiązaniem specjalnym tego równania jest funkcja

przy czym lub równoważnie .

Rozwiązanie musi być funkcją rzeczywistą - stąd w ogólnym przypadku ma postać:

Na podstawie pierwszego równania widać, że całkując powyższe równanie otrzymamy pęd:

Z powyższych rozwiązań otrzymamy

Wynik ten przedstawia równanie parametryczne okręgu. Oznacza to, że punktu porusza się w przestrzeni fazowej po okręgu z częstością równą częstości oscylatora.

Jeśli rozważymy zbiór wielu punktów o różnych warunkach początkowych odpowiadający cieczy składającej się z cząstek wypełniających przestrzeń fazową z pewną gęstością początkowa i skoncentrujemy na jednym z nich, to ponieważ wszystkie punkty poruszają z taką sama częstością kołowa, to gęstość cieczy pozostanie stała mino jej ruchu. Oznacza to, że ciecz jest nieściśliwą.

W przypadku oscylatora harmonicznego własność ta oznacza, że tzw. funkcja Wignera (która wyraża gęstość pędu i położenia stanu kwantowego) jedynie obraca się zachowując w czasie ten sam kształt.