Równania Kirchhoffa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Wstęp[edytuj | edytuj kod]

Równania Kirchhoffa to równania różniczkowe opisujące stan równowagi statycznej obciążonego pręta zakrzywionego przestrzennie[1][2].

Do opisu tego stanu trzeba posłużyć się dwoma układami współrzędnych: nieruchomym kartezjańskim o wersorach osi i ruchomym układem Freneta o wersorach osi wyznaczających kierunki prostych: stycznej, normalnej głównej i binormalnej do osi pręta.

Oś pręta jest określona parametrycznie[3]

(0)

Rozważać będziemy element pręta o długości wycięty z niego dwoma przecięciami w punktach

W wyniku tych przecięć powstają cztery przekroje poprzeczne

Znaki określają zwroty normalnych zewnętrznych tych przekrojów odniesione do dodatniego zwrotu osi określonego wersorem

Wersory Freneta i ich pochodne można zapisać następująco[4]

(1)
(2)

gdzie:

– jest krzywizną osi łuku,
– jego torsją,

a różniczkowanie odbywa się po zmiennej

Siły przekrojowe[edytuj | edytuj kod]

Redukcja obciążeń zewnętrznych działających na lewo od środka ciężkości przekroju pręta w punkcie jego osi o współrzędnej daje w wyniku wartości sił przekrojowych w tym przekroju


(3)

gdzie i są obciążeniami w przekroju początkowym pręta, dla którego a


(4)

są obciążeniami rozłożonymi w sposób ciągły wzdłuż osi.

Wektory są wektorami wodzącymi punktów na osi łuku.

Na długości elementu nie występują żadne obciążenia skupione.

W wyniku lewostronnej redukcji obciążeń do środka ciężkości przekroju otrzymujemy


(5)

stąd zaś


(6)

Zdefiniujemy teraz dodatnie siły przekrojowe działające w przekroju o współrzędnej i normalnej zewnętrznej W tym celu napiszemy


(7)

gdzie:

  • – siła podłużna w kierunku osi
  • – siła poprzeczna w kierunku osi
  • – siła poprzeczna w kierunku osi
  • – moment skręcający o wektorze w kierunku osi
  • – moment zginający o wektorze w kierunku osi
  • – moment zginający o wektorze w kierunku osi

Korzystając z (7), możemy na podstawie (2) napisać

(8)
(9)

Na podstawie (6) i (7) mamy

(10)
(11)

Porównując współrzędne wektorów (8)(11) i uwzględniając (7), otrzymujemy układ równań Kirchhoffa o postaci[1]



(12)

Dla pręta płasko zakrzywionego (tzn. gdy ) ten układ równań przybiera postać[1]


(13)

Jeżeli pręt płasko zakrzywiony jest obciążony tylko w płaszczyźnie swojej osi, to i gdy wówczas równania (13) przyjmują postać

Gdy na taki pręt działają tylko obciążenia i gdy wtedy mamy zamiast (13)

Dla pręta o stałej krzywiźnie osi (tzn. gdy  ) równania (13) dają się rozprzęgnąć do postaci

(14)

W szczególności dla pręta o osi prostoliniowej (tzn. gdy ) otrzymujemy

(15)

Pewnego podsumowania wymaga jeszcze kryterium znakowania sił przekrojowych określonych równaniami (12). W tym celu dokonujemy dwu przecięć pręta w punktach o współrzędnych i Konsekwencją tych przecięć jest powstanie czterech przekrojów poprzecznych:

Znaki określają zwroty ich normalnych zewnętrznych odnoszące się do kierunku wersora

Ze środkiem ciężkości przekroju zwiążemy teraz układ współrzędnych Siły przekrojowe w tym przekroju są dodatnie, gdy działają zgodnie z kierunkami wersorów osi przyjętego układu. Wartości tych sił wynikają z redukcji do punktu wszystkich obciążeń zewnętrznych pręta działających na lewo od jego przekroju

Wykorzystując oznaczenia (9) i (10), możemy dla przekroju napisać

a dla przekroju

Jeżeli obciążenie zewnętrzne, działające na element wycięty z rozważanego pręta, oznaczymy przez

to z warunku jego równowagi otrzymamy zamiast (12)

Dla prostoliniowego pręta o stałej sztywności giętnej poddanemu tylko obciążeniu mamy zgodnie z teorią Eulera-Bernoulliego

Na podstawie wzorów (15) otrzymuje się

Podsumowanie[edytuj | edytuj kod]

Podstawowa trudność w praktycznym zastosowaniu równań Kirchhoffa polega na tym, że wielkości występujące w tych równaniach są funkcjami parametru naturalnego wyrażającego długość rozważanej krzywej. Związek tego parametru ze zmienną stosowaną w zapisie równań o postaci

(a)

daje się zapisać w sposób jawny tylko w najprostszych przypadkach takich jak na przykład dla okręgu

W ogólnym przypadku długość łuku określona jest całką

(b)

której obliczenie zazwyczaj stanowi istotny problem.

Dodatkowe utrudnienie wynika z faktu, że wielkości występujące we wzorach (3) są funkcjami zmiennej (a nie !), co wymaga podstawienia zależności we wzorach (0). Jawna postać tej zależności występuje niestety tylko dla najprostszych przypadków. Na przykład dla okręgu lub dla spirali kołowej

Nawet jeżeli całka we wzorze (b) daje się obliczyć, to wyznaczenie zależności odwrotnej może się okazać niewykonalne. Z taką sytuacją mamy do czynienia na przykład dla krzywej w postaci płaskiej paraboli

dla której[5]

(c)

Jak wynika ze wzoru (c) funkcja jest silnie rosnąca i dla tego wiadomo, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy wartościami zmiennych i Jednak nawet dla tego prostego przypadku wyznaczenie jawnej, analitycznej postaci zależności nie jest możliwe.

W przypadku ogólnym, gdy krzywa jest opisana równaniami (a), obliczanie całek

występujących we wzorach (3) wymaga zastosowania numerycznych metod całkowania. Wymaga to podzielenia przedziału całkowania na podprzedziałów i obliczenia rzędnych funkcji całkowanych, w węzłach podziałowych I tu również pojawia się problem bo obliczenie tych rzędnych wymaga krotnego, numerycznego rozwiązywania równań w celu wyznaczenia rzędnych

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

1. Spirala kołowa prawoskrętna wokoło osi
Obliczymy siły przekrojowe w pręcie o osi opisanej parametrycznie

względem osi kartezjańskiego układu współrzędnych Wersory tych osi oznaczymy przez

Oś pręta jest linią śrubową, czyli spiralą nawiniętą na walec kołowy o promieniu Skok spirali wynosi

Siły wyznaczymy jako funkcje zmiennej liczonej wzdłuż osi pręta od jego lewego końca w punkcie o współrzędnych

Założymy, że pręt jest całkowicie utwierdzony w przekroju o współrzędnej i zupełnie swobodny w przekroju o współrzędnej

Pręt jest obciążony siłą skupioną w przekroju i równomiernie rozłożonym ciężarem własnym liczonym na jednostkę długości osi pręta.

Wyznaczenie sił przekrojowych dla punktu wymaga wprowadzenia w tym punkcie układu współrzędnych Freneta Wersory tego układu mają w układzie następujące współrzędne

gdzie jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny

Wartości sił w przekroju o współrzędnej oblicza się ze wzorów

2. Lewoskrętna spirala kołowa na walcu o osi

gdzie jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta do płaszczyzny

Obciążeniem pręta jest jego ciężar własny Pręt jest w pełni zamocowany w przekroju końcowym.

Siły przekrojowe oblicza się z następujących wzorów:

gdzie:

3. Okrąg na płaszczyźnie o normalnej

Oś pręta jest opisana parametrycznie

względem układu współrzędnych

Współrzędne wersorów osi układu Freneta mają współrzędne

Pręt jest przecięty w punkcie początkowym o współrzędnej i jest w pełni utwierdzony w punkcie końcowym przy Przekrój początkowy jest swobodny i obciążony skupionym momentem skręcającym

Siły przekrojowe mają wartości

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. a b c G. Rakowski, R, Solecki, Pręty zakrzywione – obliczenia statyczne, Arkady, Warszawa 1965.
  2. G. Kirchhoff, Vorlesungen über mathematische Physik, t. I, Mechanik.
  3. F. Leja, Geometria analityczna, PWN, Warszawa 1954.
  4. В.И. Смирнов, Күрс высшей математиқи, Гос. Издат. техниĸо-теоретической литературы, Москва-Ленинград 1951.
  5. И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике, стр. 359, Гос. Издат. Тех-теор. литературы, Москва 1954.