Równania Kirchhoffa

Równania Kirchhoffa to równania różniczkowe opisujące stan równowagi statycznej obciążonego pręta zakrzywionego przestrzennie.

Do opisu tego stanu trzeba posłużyć się dwoma układami współrzędnych: nieruchomym kartezjańskim $0xyz$ o wersorach osi $\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k}$ i ruchomym układem Freneta $0\xi _{1}\xi _{2}\xi _{3}$ o wersorach osi $\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}$ wyznaczających kierunki prostych: stycznej, normalnej głównej i binormalnej do osi pręta.

Oś pręta jest określona parametrycznie

$x_{1}=x_{1}(t),\quad x_{2}=x_{2}(t),\quad x_{3}=x_{3}(t).$

(0)

Rozważać będziemy element pręta o długości $ds,$ wycięty z niego dwoma przecięciami $S,\,dS$ w punktach $s,\,ds.$

W wyniku tych przecięć powstają cztery przekroje poprzeczne

$S^{(+)},\,S^{(-)},\,dS^{(+)},\,dS^{(-)}.$

Znaki $(+),\,(-)$ określają zwroty normalnych zewnętrznych tych przekrojów odniesione do dodatniego zwrotu osi $0x$ określonego wersorem $\mathbf {i} .$

Wersory Freneta i ich pochodne można zapisać następująco

$\mathbf {r} =r_{x}\mathbf {i} +r_{y}\mathbf {j} +r_{z}\mathbf {k} ,\quad \mathbf {e} _{1}=\mathbf {r} ^{'},\quad \mathbf {e} _{2}={\frac {1}{\kappa }}\mathbf {e} _{1}^{'},\quad \mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2},$

(1)

$\mathbf {e} _{1}^{'}=\kappa \mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {e} _{2}^{'}=-\kappa \mathbf {e} _{1}-\tau \mathbf {e} _{3},\quad \mathbf {e} _{3}^{'}=\tau \mathbf {e} _{2},$

(2)

gdzie:

$\kappa$ – jest krzywizną osi łuku,

$\tau$ – jego torsją,

a różniczkowanie odbywa się po zmiennej $s.$

Siły przekrojowe

Redukcja obciążeń zewnętrznych działających na lewo od środka ciężkości przekroju pręta $S^{(-)}$ w punkcie jego osi o współrzędnej $s,$ daje w wyniku wartości sił przekrojowych w tym przekroju

$\mathbf {P} _{s}=\mathbf {P} _{o}+\int _{0}^{s}\!\!\mathbf {q} (\sigma )d\sigma ,$ $\mathbf {M} _{s}=\mathbf {M} _{o}+\mathbf {P} _{o}\times (\mathbf {r} _{o}-\mathbf {r} _{s})+\int _{0}^{s}\!\!\mathbf {m} (\sigma )d\sigma +\int _{0}^{s}\!\!\mathbf {q} (\sigma )\times (\mathbf {r} _{\sigma }-\mathbf {r} _{s})d\sigma ,$

(3)

gdzie $\mathbf {P} _{o}$ i $\mathbf {M} _{o}$ są obciążeniami w przekroju początkowym pręta, dla którego $s=0,$ a

$\mathbf {q} (\sigma )=q_{1}(\sigma )\mathbf {e} _{1}+q_{2}(\sigma )\mathbf {e} _{2}+q_{3}(\sigma )\mathbf {e} _{3},$ $\mathbf {m} (\sigma )=m_{1}(\sigma )\mathbf {e} _{1}+m_{2}(\sigma )\mathbf {e} _{2}+m_{3}(\sigma )\mathbf {e} _{3}$

(4)

są obciążeniami rozłożonymi w sposób ciągły wzdłuż osi.

Wektory $\mathbf {r} _{o}=\mathbf {r} (s=0),\,\mathbf {r} _{\sigma }=r(s=\sigma ),\,\mathbf {r} _{s}=r(s)$ są wektorami wodzącymi punktów $0,L,S$ na osi łuku.

Na długości elementu nie występują żadne obciążenia skupione.

W wyniku lewostronnej redukcji obciążeń do środka ciężkości przekroju $dS^{(-)}$ otrzymujemy

$\mathbf {P} _{s}+d\mathbf {P} _{s}=\mathbf {P} _{s}+\mathbf {q} (s)ds,$ $\mathbf {M} _{s}+d\mathbf {M} _{s}=\mathbf {M} _{s}+\mathbf {m} (s)ds+\mathbf {P} _{s}\times d\mathbf {r} ,$

(5)

stąd zaś

$\mathbf {P} _{s}^{'}=\mathbf {q} (s),$ $\mathbf {M} _{s}^{'}=\mathbf {m} (s)+\mathbf {P} _{s}\times {\tfrac {d\mathbf {r} }{ds}}=\mathbf {m} (s)+\mathbf {P} _{s}\times \mathbf {e} _{1},$ $\mathbf {P} _{s}\times \mathbf {e} _{1}=(P_{1}\mathbf {e} _{1}+P_{2}\mathbf {e} _{2}+P_{3}\mathbf {e} _{3})\times \mathbf {e} _{1}=P_{3}\mathbf {e} _{2}-P_{2}\mathbf {e} _{3}.$

(6)

Zdefiniujemy teraz dodatnie siły przekrojowe działające w przekroju $S^{(-)}$ o współrzędnej $s$ i normalnej zewnętrznej $-\,\mathbf {e} _{1}.$ W tym celu napiszemy

$\mathbf {P} _{s}=P_{1}\mathbf {e} _{1}+P_{2}\mathbf {e} _{2}+P_{3}\mathbf {e} _{3}=N\mathbf {e} _{1}+Q\mathbf {e} _{2}+T\mathbf {e} _{3},$ $\mathbf {M} _{s}=M_{1}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3}=M_{s}\mathbf {e} _{1}+M_{n}\mathbf {e} _{2}+M\mathbf {e} _{3},$

(7)

gdzie:

• $N$ – siła podłużna w kierunku osi $0\xi _{1},$
• $Q$ – siła poprzeczna w kierunku osi $0\xi _{2},$
• $T$ – siła poprzeczna w kierunku osi $0\xi _{3},$
• $M_{s}$ – moment skręcający o wektorze w kierunku osi $0\xi _{1},$
• $M_{n}$ – moment zginający o wektorze w kierunku osi $0\xi _{2},$
• $M$ – moment zginający o wektorze w kierunku osi $0\xi _{3}.$

Korzystając z (7), możemy na podstawie (2) napisać

${\begin{aligned}\mathbf {P} _{s}^{'}&=P_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+P_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+P_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+P_{1}\mathbf {e} _{1}^{'}+P_{2}\mathbf {e} _{2}^{'}+P_{3}\mathbf {e} _{3}^{'}\\[2pt]&=P_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+P_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+P_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+P_{1}(\kappa \mathbf {e} _{2})+P_{2}(-\kappa \mathbf {e} _{1}-\tau \mathbf {e} _{3})+P_{3}(\tau \mathbf {e} _{2})\\[2pt]&=(P_{1}^{'}-\kappa P_{2})\mathbf {e} _{1}+(P_{2}^{'}+\kappa P_{1}+\tau P_{3})\mathbf {e} _{2}+(P_{3}^{'}-\tau P_{2})\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}$

(8)

${\begin{aligned}\\[1px]\mathbf {M} _{s}^{'}&=M_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+M_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+M_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+M_{1}\mathbf {e} _{1}^{'}+M_{2}\mathbf {e} _{2}^{'}+M_{3}\mathbf {e} _{3}^{'}\\[2pt]&=M_{1}^{'}\mathbf {e} _{1}+M_{2}^{'}\mathbf {e} _{2}+M_{3}^{'}\mathbf {e} _{3}+M_{1}(\kappa \mathbf {e} _{2})+M_{2}(-\kappa \mathbf {e} _{1}-\tau \mathbf {e} _{3})+M_{3}(\tau \mathbf {e} _{2})\\[2pt]&=(M_{1}^{'}-\kappa M_{2})\mathbf {e} _{1}+(M_{2}^{'}+\kappa M_{1}+\tau M_{3})\mathbf {e} _{2}+(M_{3}^{'}-\tau M_{2})\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}$

(9)

Na podstawie (6) i (7) mamy

$\mathbf {P} _{s}^{'}=q_{1}\mathbf {e} _{1}+q_{2}\mathbf {e} _{2}+q_{3}\mathbf {e} _{3},$

(10)

${\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}^{'}&=\mathbf {m} (s)-P_{2}\mathbf {e} _{3}+P_{3}\mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=m_{1}\mathbf {e} _{1}+m_{2}\mathbf {e} _{2}+m_{3}\mathbf {e} _{3}-P_{2}\mathbf {e} _{3}+P_{3}\mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=m_{1}\mathbf {e} _{1}+(m_{2}+P_{3})\mathbf {e} _{2}+(m_{3}-P_{2})\mathbf {e} _{3}.\end{aligned}}$

(11)

Porównując współrzędne wektorów (8)–(11) i uwzględniając (7), otrzymujemy układ równań Kirchhoffa o postaci

${\frac {dN}{ds}}-\kappa Q=q_{1},\quad {\frac {dQ}{ds}}+\kappa N+\tau T=q_{2},\quad {\frac {dT}{ds}}-\tau Q=q_{3},$ ${\frac {dM_{s}}{ds}}-\kappa M_{n}=m_{1},\quad {\frac {dM_{n}}{ds}}+\kappa M_{s}+\tau M=m_{2}+T,$ ${\frac {dM}{ds}}-\tau M_{n}=m_{3}-Q.$

(12)

Dla pręta płasko zakrzywionego (tzn. gdy $\tau \equiv 0$) ten układ równań przybiera postać

$N^{'}-\kappa Q=q_{1},\quad Q^{'}+\kappa N=q_{2},\quad T^{'}=q_{3},$ $M_{s}^{'}-\kappa M_{n}=m_{1},\quad M_{n}^{'}+\kappa M_{s}=m_{2}+T,\quad M^{'}=m_{3}-Q.$

(13)

Jeżeli pręt płasko zakrzywiony jest obciążony tylko w płaszczyźnie swojej osi, to $q_{3}=m_{1}=m_{2}=0$ i gdy $T=M_{s}=M_{n}=0,$ wówczas równania (13) przyjmują postać

$N^{'}-\kappa Q=q_{1},\quad Q^{'}+\kappa N=q_{2},\quad M^{'}=m_{3}-Q.$

Gdy na taki pręt działają tylko obciążenia $q_{3},\,m_{1},\,m_{2}$ $(q_{1}=q_{2}=m_{3}=0)$ i gdy $N=Q=M=0,$ wtedy mamy zamiast (13)

$T^{'}=q_{3},\quad M_{s}^{'}-\kappa M_{n}=m_{1},\quad M_{n}^{'}+\kappa M_{s}=m_{2}+T.$

Dla pręta o stałej krzywiźnie osi (tzn. gdy $\kappa \equiv \mathrm {const}$ ) równania (13) dają się rozprzęgnąć do postaci

$N^{''}+\kappa ^{2}N=q_{1}^{'}+\kappa q_{2},$ $Q^{''}+\kappa ^{2}Q=-\,\kappa q_{1}+q_{2}^{'},$ $T^{'}=q_{3},$ $M_{s}^{'''}+\kappa ^{2}M_{s}^{'}=m_{1}^{''}+\kappa m_{2}^{'}+\kappa q_{3},$ $M_{n}^{''}+\kappa ^{2}M_{n}=-\,\kappa m_{1}+m_{2}^{'}+q_{3},$ $M^{'}=m_{3}-Q.$

(14)

W szczególności dla pręta o osi prostoliniowej (tzn. gdy $\kappa \equiv 0$) otrzymujemy

$N^{'}=q_{1},\quad Q^{'}=q_{2},\quad T^{'}=q_{3},$ $M_{s}^{'}=m_{1},\quad M_{n}^{''}=m_{2}^{'}+q_{3},\quad M^{'}=m_{3}-Q.$

(15)

Pewnego podsumowania wymaga jeszcze kryterium znakowania sił przekrojowych określonych równaniami (12). W tym celu dokonujemy dwu przecięć pręta w punktach o współrzędnych $s$ i $s+ds.$ Konsekwencją tych przecięć jest powstanie czterech przekrojów poprzecznych:

$S^{(+)},\,S^{(-)},\,dS^{(+)},\,dS^{(-)}.$

Znaki $(+),\,(-)$ określają zwroty ich normalnych zewnętrznych odnoszące się do kierunku wersora $\mathbf {e} _{1}.$

Ze środkiem ciężkości $s$ przekroju $S^{(-)}$ zwiążemy teraz układ współrzędnych $0\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.$ Siły przekrojowe $N,Q,T,M_{s},M_{n},M$ w tym przekroju są dodatnie, gdy działają zgodnie z kierunkami wersorów osi przyjętego układu. Wartości tych sił wynikają z redukcji do punktu $s$ wszystkich obciążeń zewnętrznych pręta działających na lewo od jego przekroju $S^{(-)}.$

Wykorzystując oznaczenia (9) i (10), możemy dla przekroju $S^{(-)}$ napisać

$\mathbf {F} _{s}=[\mathbf {P} _{s},\mathbf {M} _{s}],$

a dla przekroju $dS^{(-)}$

$\mathbf {F} _{s}+d\mathbf {F} _{s}=[\mathbf {P} _{s}+d\mathbf {P} _{s},\;\mathbf {M} _{s}+d\mathbf {M} _{s}].$

Jeżeli obciążenie zewnętrzne, działające na element $(s,s+ds)$ wycięty z rozważanego pręta, oznaczymy przez

$\mathbf {f} (s)=\mathbf {q} (s)+\mathbf {m} (s),$

to z warunku jego równowagi otrzymamy zamiast (12)

$-d\mathbf {F} _{s}+\mathbf {f} (s)ds=0\quad \to \quad {\tfrac {d}{ds}}\mathbf {F} (s)=\mathbf {f} (s).$

Dla prostoliniowego pręta o stałej sztywności giętnej $EI,$ poddanemu tylko obciążeniu $q_{2},$ mamy zgodnie z teorią Eulera-Bernoulliego

$EIw^{''}(s)=M(s).$

Na podstawie wzorów (15) otrzymuje się

$EIw^{'''}(s)=-Q(s),\quad EIw^{''''}=-\,q_{2}(s).$

Podsumowanie

Podstawowa trudność w praktycznym zastosowaniu równań Kirchhoffa polega na tym, że wielkości występujące w tych równaniach są funkcjami parametru naturalnego $s$ wyrażającego długość rozważanej krzywej. Związek $s(t)$ tego parametru ze zmienną $t$ stosowaną w zapisie równań o postaci

$x=x(t),\quad y=y(t),\quad z=z(t)$

(a)

daje się zapisać w sposób jawny tylko w najprostszych przypadkach takich jak na przykład dla okręgu

$x=r\cos t=r\cos {\tfrac {s}{r}},\quad y=r\sin t=r\sin {\tfrac {s}{r}},\quad \mathbf {s(t)=rt} .$

W ogólnym przypadku długość łuku określona jest całką

$s(t)=\int _{0}^{s}\!d\sigma =\int _{0}^{t}\!\!{\sqrt {{\dot {x}}^{2}(\tau )+{\dot {y}}^{2}(\tau )+{\dot {z}}^{2}(\tau )}}\,d\tau ,$

(b)

której obliczenie zazwyczaj stanowi istotny problem.

Dodatkowe utrudnienie wynika z faktu, że wielkości występujące we wzorach (3) są funkcjami zmiennej $s$ (a nie $t$!), co wymaga podstawienia zależności $t=t(s)$ we wzorach (0). Jawna postać tej zależności występuje niestety tylko dla najprostszych przypadków. Na przykład dla okręgu $t(s)={\tfrac {s}{r}}$ lub dla spirali kołowej $t(s)={\tfrac {s}{r}}\cos \varphi .$

Nawet jeżeli całka we wzorze (b) daje się obliczyć, to wyznaczenie zależności odwrotnej $t(s)$ może się okazać niewykonalne. Z taką sytuacją mamy do czynienia na przykład dla krzywej w postaci płaskiej paraboli

$x(t)=t,\quad y(t)=t^{2},\quad z(t)=0,$

dla której

$ds(t)={\sqrt {1+4t^{2}}}dt,$

(c)

$s(t)=2\!\int _{0}^{t}\!\!{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+\tau ^{2}}}d\tau =t{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+t^{2}}}+{\tfrac {1}{4}}\ln \left(t+{\sqrt {{\tfrac {1}{4}}+t^{2}}}\right)-{\tfrac {1}{4}}\ln({\tfrac {1}{2}}).$

Jak wynika ze wzoru (c) funkcja $s(t)$ jest silnie rosnąca i dlatego wiadomo, że istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość pomiędzy wartościami zmiennych $s$ i $t.$ Jednak nawet dla tego prostego przypadku wyznaczenie jawnej, analitycznej postaci zależności $t(s)$ nie jest możliwe.

W przypadku ogólnym, gdy krzywa jest opisana równaniami (a), obliczanie całek

$\int _{0}^{s}\!\!x_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!x[t(\sigma )]d\sigma ,\quad \int _{0}^{s}\!\!y_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!y[t(\sigma )]d\sigma ,\quad \int _{0}^{s}\!\!z_{\sigma }d\sigma =\int _{0}^{s}\!\!z[t(\sigma )]d\sigma ,$

występujących we wzorach (3) wymaga zastosowania numerycznych metod całkowania. Wymaga to podzielenia przedziału całkowania $(0,\,s)$ na $n$ podprzedziałów i obliczenia rzędnych $x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ funkcji całkowanych, w węzłach podziałowych $s_{i}.$ I tu również pojawia się problem bo obliczenie tych rzędnych wymaga $n+1$ krotnego, numerycznego rozwiązywania równań $s(t)=s_{i}$ w celu wyznaczenia rzędnych $t_{i}(s_{i}).$

Przykłady

1. Spirala kołowa prawoskrętna wokoło osi $0z.$
Obliczymy siły przekrojowe w pręcie o osi opisanej parametrycznie

$x(t)=r\cos t,\quad y(t)=r\sin t,\quad z(t)={\tfrac {hr}{2\pi }}t,$

względem osi kartezjańskiego układu współrzędnych $0xyz.$ Wersory tych osi oznaczymy przez $\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} .$

Oś pręta jest linią śrubową, czyli spiralą nawiniętą na walec kołowy o promieniu $r.$ Skok spirali wynosi $hr.$

Siły wyznaczymy jako funkcje zmiennej $s$ liczonej wzdłuż osi pręta od jego lewego końca w punkcie $s=0$ o współrzędnych $(r,\,0,\,0).$

Założymy, że pręt jest całkowicie utwierdzony w przekroju o współrzędnej $s=r{\sqrt {4\pi ^{2}+h^{2}}}\;\;(t=2\pi )$ i zupełnie swobodny w przekroju o współrzędnej $s=0.$

Pręt jest obciążony siłą skupioną $\mathbf {P} =-P\mathbf {k}$ w przekroju $s=0$ i równomiernie rozłożonym ciężarem własnym $\mathbf {q} (s)=-q\mathbf {k}$ liczonym na jednostkę długości osi pręta.

Wyznaczenie sił przekrojowych dla punktu $s$ wymaga wprowadzenia w tym punkcie układu współrzędnych Freneta $0\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.$ Wersory tego układu mają w układzie $0xyz$ następujące współrzędne

$\mathbf {e} _{1}=(-\cos \varphi \sin t,\;\cos \varphi \cos t,\;\sin \varphi ),$

$\mathbf {e} _{2}=(-\cos t,\;-\sin t,\;0),$

$\mathbf {e} _{3}=(\sin \varphi \sin t,\;-\sin \varphi \cos t,\;\cos \varphi ),$

gdzie $\varphi$ jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta względem płaszczyzny $0xy.$

Wartości sił w przekroju $S^{(-)}$ o współrzędnej $s$ oblicza się ze wzorów

$P_{x}=0,\quad P_{y}=0,\quad P_{z}=-P-\int _{0}^{s}qd\sigma =-(P+qs),$

$P_{1}=N=P_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}=-(P+qs)\sin \varphi ,$

$P_{2}=Q=P_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}=0,$

$P_{3}=T=P_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}=-(P+qs)\cos \varphi .$

$M_{x}=Py_{s}+\int _{0}^{s}qy_{\sigma }d\sigma =Pr\sin \alpha s+{\tfrac {qr}{\alpha }}(1-\cos \alpha s),$

$\alpha ={\tfrac {\cos \varphi }{r}},\quad \mathbf {\alpha s=t} ,\quad x_{s}=r\cos \alpha s,\quad y_{s}=r\sin \alpha s,\quad \sigma \in [0,s],$

$M_{y}=P(r-x_{s})+\int _{0}^{s}q(x_{\sigma }-x_{s})d\sigma =Pr(1-\cos \alpha s)+$

${}\qquad +q\int _{0}^{s}x_{\sigma }d\sigma -qx_{s}\int _{0}^{s}d\sigma =Pr(1-\cos \alpha s)+{\tfrac {qr}{\alpha }}\sin \alpha s-qrs\cos \alpha s,$

$M_{z}=0,$

${\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}&=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +M_{z}\mathbf {k} \\[2pt]&=M_{1}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}M_{1}&=M_{s}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{1}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{1}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}\\[2pt]&=(-\cos \varphi \sin \alpha s)M_{x}+(\cos \varphi \cos \alpha s)M_{y},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}M_{2}&=M_{n}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{2}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{2}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}\\[2pt]&=-\cos \alpha s\,M_{x}-\sin \alpha s\,M_{y},\end{aligned}}$

${\begin{aligned}M_{3}&=M=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{3}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{3}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}\\[2pt]&=(\sin \varphi \sin \alpha s)M_{x}+(-\sin \varphi \cos \alpha s)M_{y}.\end{aligned}}$

2. Lewoskrętna spirala kołowa na walcu o osi $0y.$

$x(t)=r\cos t,\quad y(t)={\tfrac {hr}{2\pi }}t,\quad z(t)=r\sin t,$

${\dot {x}}(t)=-r\sin t,\quad {\dot {y}}(t)={\tfrac {hr}{2\pi }},\quad {\dot {z}}(t)=r\cos t,$

$ds={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}=r\kappa dt,$

$\kappa ={\sqrt {1+{\tfrac {h^{2}}{4\pi ^{2}}}}},\quad {\tfrac {1}{\kappa }}=\cos \varphi ,\quad {\tfrac {h}{2\pi \kappa }}=\sin \varphi ,$

gdzie $\varphi$ jest kątem nachylenia stycznej do osi pręta do płaszczyzny $0zx,$

$x^{'}(s)=-\cos \varphi \sin t,\quad y^{'}(s)=\sin \varphi ,\quad \cos \varphi \cos t,$

$\mathbf {e} _{1}=(-\cos \varphi \sin t,\;\sin \varphi ,\;\cos \varphi \cos t),$

$x^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\rho }}\cos t,\quad y^{''}(s)=0,\quad z^{''}(s)=-{\tfrac {1}{\rho }}\sin t,\quad \rho ={\tfrac {r}{\cos ^{2}\varphi }},$

$\mathbf {e} _{2}=(-\cos t,\;0,\;-\sin t),$

$\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=(-\sin \varphi \sin t,\;-\cos \varphi ,\;\sin \varphi \cos t).$

Obciążeniem pręta jest jego ciężar własny $\mathbf {q} =-q\mathbf {k} .$ Pręt jest w pełni zamocowany w przekroju końcowym.

Siły przekrojowe oblicza się z następujących wzorów:

$\mathbf {P} _{s}=P_{x}\mathbf {i} +P_{y}\mathbf {j} +P_{z}\mathbf {k} =-\int _{0}^{s}q\mathbf {k} d\sigma =-qs\mathbf {k} ,$

${\begin{aligned}\mathbf {M} _{s}&=-\int _{0}^{s}q\mathbf {k} \times (\mathbf {r} _{\sigma }-\mathbf {r} _{s})d\sigma =-q\int _{0}^{s}{\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[1ex]0&0&1\\x_{\sigma }-x_{s}&y_{\sigma }-y_{s}&z_{\sigma }-z_{s}\end{vmatrix}}d\sigma \\[1ex]&=-q\int _{0}^{s}\left[-(y_{\sigma }-y_{s})\mathbf {i} +(x_{\sigma }-x_{s})\mathbf {j} \right]d\sigma \\[1ex]&=-q\left[(-\int _{0}^{s}y_{\sigma }d\sigma +\int _{0}^{s}y_{s}d\sigma )\mathbf {i} +(\int _{0}^{s}x_{\sigma }d\sigma -\int _{0}^{s}x_{s}d\sigma )\mathbf {j} \right]\\[1ex]&=-qrs\left[{\tfrac {h\alpha s}{4\pi }}\mathbf {i} +({\tfrac {1}{\alpha s}}\sin \alpha s-\cos \alpha s)\mathbf {j} \right]=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +0\mathbf {k} ,\end{aligned}}$

gdzie:

$\alpha ={\tfrac {\cos \varphi }{r}},\quad \mathbf {\alpha s=t} ,\quad x_{s}=x(s)=r\cos \alpha s,\quad y_{s}=y(s)={\tfrac {hr}{2\pi }}\alpha s,$

$M_{i}=\mathbf {M} _{s}\mathbf {e} _{i}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{i}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{i},\quad i=1,2,3,$

$M_{1}=M_{x}(-\cos \varphi \sin t)+M_{y}(\sin \varphi ),$

$M_{2}=M_{x}(-\cos t),$

$M_{3}=M_{x}(-\sin \varphi \sin t)+M_{y}(-\cos \varphi ).$

3. Okrąg na płaszczyźnie o normalnej $\mathbf {b} =(0,-\sin \alpha ,\,\cos \alpha ).$

Oś pręta jest opisana parametrycznie

$x(t)=r\cos t,\quad y(t)=r\cos \alpha \sin t,\quad z(t)=r\sin \alpha \sin t$

względem układu współrzędnych $0xyz.$

Współrzędne wersorów osi układu Freneta mają współrzędne

$\mathbf {e} _{1}=(-\sin t,\,\cos \alpha \cos t,\,\sin \alpha \cos t),$

$\mathbf {e} _{2}=(-\cos t,\,-\cos \alpha \sin t,\,-\sin \alpha \sin t),$

$\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}=(0,\,-\sin \alpha ,\,\cos \alpha ).$

Pręt jest przecięty w punkcie początkowym o współrzędnej $t=0$ i jest w pełni utwierdzony w punkcie końcowym przy $t=2\pi .$ Przekrój początkowy $S^{(-)}$ jest swobodny i obciążony skupionym momentem skręcającym $\mathbf {M} =M\mathbf {j} .$

Siły przekrojowe mają wartości

$P_{1}=P_{2}=P_{3}=0,$

$M_{x}=0,\;M_{y}=M,\;M_{z}=0,$

$\mathbf {M} _{s}=M_{x}\mathbf {i} +M_{y}\mathbf {j} +M_{z}\mathbf {k} =M_{1}\mathbf {e} _{1}+M_{2}\mathbf {e} _{2}+M_{3}\mathbf {e} _{3},$

$M_{1}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{1}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{1}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{1}=M\cos \alpha \cos t,$

$M_{2}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{2}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{2}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{2}=-M\cos \alpha \sin t,$

$M_{3}=M_{x}\mathbf {i} \mathbf {e} _{3}+M_{y}\mathbf {j} \mathbf {e} _{3}+M_{z}\mathbf {k} \mathbf {e} _{3}=-M\sin \alpha .$