Równanie Burgersa

Równanie Burgersa – jedno z fundamentalnych równań różniczkowych cząstkowych mechaniki płynów. Występuje w wielu dziedzinach matematyki i fizyki, np. w modelach dynamiki gazów i ruchu ulicznego. Nazwa równania upamiętnia holenderskiego fizyka Johannesa Martinusa Burgersa (1895-1981), który jako pierwszy badał to równanie.

Definicja

Równanie Burgersa w ogólnej postaci jest nieliniowym, parabolicznym równaniem różniczkowym cząstkowym drugiego rzędu na jedną funkcję $\ u$$\ u$ dwóch zmiennych niezależnych $\ t$$\ t$ i $\ x$$\ x$:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=\nu {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$

gdzie

• $\ t$$\ t$ – zmienna niezależna zwykle interpretowana jako czas
• $\ x$$\ x$ – zmienna niezależna zwykle interpretowana jako położenie
• $\ u$$\ u$ – zmienna zależna zwykle interpretowana jako prędkość płynu w $\ (x,t)$$\ (x,t)$
• $\ \nu$$\ \nu$ – stały parametr, zwykle interpretowany jako lepkość płynu

Pierwszy z członów równania Burgersa opisuje zmianę prędkości płynu w danym punkcie przestrzeni. Drugi człon jest nieliniowym wyrażeniem opisującym konwekcję płynu (tzw. człon konwekcyjny). Prawa strona równania opisuje dyssypację energii (człon lepkościowy).

Dla ν = 0 równanie Burgersa upraszcza się do tzw. nielepkiego równania Burgersa:

${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$${\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}=0.$

Równanie to jest prototypem (tj. modelowym przykładem) równań różniczkowych cząstkowych, których rozwiązania mogą posiadać nieciągłości (odpowiadające falom uderzeniowym).

Linki zewnętrzne

• Równanie Burgersa w serwisie EqWorld: The World of Mathematical Equations.