Równanie Darcy’ego-Weisbacha

Równanie Darcy’ego-Weisbacha – równanie opisujące spadek ciśnienia płynu powodowanego przez rozpraszanie energii mechanicznej za pośrednictwem tarcia podczas jego przepływu w przewodzie. Nazwa pochodzi od nazwisk dwóch inżynierów, Francuza Henry’ego Darcy’ego (1803–1858) i Niemca Juliusa Weisbacha (1806–1871). Współczesną formę równania podał w roku 1845 Weisbach.

Postać równania

Równanie Darcy’ego-Weisbacha ma następujące równoważne sobie postacie:

$\Delta p=\lambda {\frac {L}{D}}{\frac {\rho u^{2}}{2}}$

lub

$\Delta h=\lambda {\frac {L}{D}}{\frac {u^{2}}{2g}},$

gdzie:

$\Delta p$ – spadek ciśnienia [Pa],

$\Delta h$ – wysokość strat ciśnienia [m],

$\lambda$ – współczynnik oporu zależny od liczby Reynoldsa Re i chropowatości względnej rury (bezwymiarowy),

$L$ – długość przewodu [m],

$D$ – średnica (ew. zastępcza) przewodu [m],

$\rho$ – gęstość płynu [kg/m³],

$u$ – prędkość płynu [m/s],

$g$ – przyspieszenie ziemskie [m/s²].

Postać rozszerzona

Uwzględniając opory lokalne:

$\Delta p={\frac {u^{2}\rho }{2}}\left(\lambda {\frac {L}{D}}+\zeta _{1}+\zeta _{2}+\ldots \right)$

lub

$\Delta p=\lambda {\frac {L_{e}}{D}}{\frac {u^{2}\rho }{2}};\ L_{e}=L+(n_{1}+n_{2}+\ldots )D,$

gdzie zarówno $\zeta _{i},$ jak i $n_{i}$ nazywane są współczynnikami oporów lokalnych i są one zestawione w tablicach.

Liczba Reynoldsa

Liczba Reynoldsa dla przepływu w przewodzie zamkniętym dana jest wzorem:

$\mathrm {Re} ={\frac {uD\rho }{\eta }},$

gdzie:

$D$ – średnica hydrauliczna przewodu [m],

$u$ – średnia prędkość płynu [m/s],

$\rho$ – gęstość płynu [kg/m³],

$\eta$ – lepkość dynamiczna płynu [Pa s].

Współczynnik oporu

Dla Re < 2100:

$\lambda ={\frac {a}{\mathrm {Re} }}$

Czynnik $a$ wynosi dla przewodów:

• kołowych $a=64,$
• kwadratowych $a=57,$
• pierścieniowych $a=96,$
• prostokątnych o stosunku boków 1:2 $a=59.$

Dla rury gładkiej oraz 3×10³ < Re < 10⁵ stosuje się powszechnie tzw. wzór Blasiusa:

$\lambda ={\frac {0{,}3164}{\sqrt[{4}]{\mathrm {Re} }}}.$

Dla rur o chropowatości(k) i przepływie z liczbą Re > 3×10³ (wzór Colebrooka-White’a):

${\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}=-2\lg \left({\frac {2{,}5}{\mathrm {Re} {\sqrt {\lambda }}}}+{\frac {k}{3{,}7d}}\right),$

gdzie:

$d$ – średnica rury.

Wzór ten by obliczyć współczynnik oporu wymaga zastosowania metod numerycznych. By w łatwiejszy sposób obliczyć ten współczynnik powstało wiele innych wzorów upraszczających powyższy.

Dla 10⁵ < Re < 10⁸ istnieje wiele konkurencyjnych wzorów empirycznych, z których najpopularniejszym jest:

$\lambda =0{,}0032+{\frac {0{,}221}{\mathrm {Re} ^{0{,}237}}}.$

Bibliografia

• Janusz Ciborowski, Inżynieria procesowa, WNT, Warszawa 1973, wydanie drugie.
• Krystyna Jeżowiecka-Kabsch, Henryk Szewczyk,Mechanika płynów, OWPW, Wrocław 2001.