Równanie Grossa-Pitajewskiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie Grossa-Pitajewskiego – nieliniowe równanie modelowe na funkcję falową kondensatu Bosego-Einsteina. Ma formę podobną do równania Ginzburga-Landaua.

Kondensat Bosego-Einsteina (BEC) jest jednakowych gazem bozonów, które okupują jeden stan kwantowy, który w przybliżeniu może być przedstawiony w postaci iloczynu funkcji falowych poszczególnych cząstek, które są takie same. Każda z cząstek jest opisywana przez jednocząstkowe równanie Schrödingera. Oddziaływania między cząstkami w gazie rzeczywistym są opisywane przez ogólne wielocząstkowe równanie Schrödingera. Jeśli jednak gaz jest rzadki, można założyć, że cząstki oddziałują ze sobą, tylko gdy są w tym samym miejscu, co wraz z formalizmem drugiej kwantyzacji prowadzi do równania Grossa-Pitajewskiego.

Forma równania[edytuj]

Równanie ma postać równania Schrödingera z dodanym nieliniowym członem oddziaływania. Stała sprzężenia, g, jest proporcjonalna do długości rozpraszania dwóch oddziałujących bozonów:

gdzie jest stałą Plancka, a jest masą każdego z bozonów. Hamiltonian ma postać:

gdzie są operatorami kreacji

Stosując przybliżenie, że każda cząstka okupuje stan otrzymujemy gęstość energii:

Dokonując wariacji ze względu na i dodając mnożnik Lagrange’a – potencjał chemiczny utrzymujemy równanie Grossa-Pitajewskigo:

wraz z warunkiem na potencjał chemiczny:

Istnieje też równanie Grossa-Pitajewskiego zależne od czasu:

Równanie to pozwala określić ewolucję kondensatu.

Rozwiązania[edytuj]

Rozwiązanie równania Grossa Pitajewskiego ze względu na jego nieliniowość jest trudnym problemem. W praktyce wykonuje się obliczenia numeryczne lub wykorzystuje rozmaite przybliżenia, rachunek zaburzeń. Występują szczególne rozwiązania:

  • solitonowe („jasne” i „ciemne” solitony”)
  • Thomasa-Fermiego (zaniedbany człon kinetyczny)

Bibliografia[edytuj]

  • K. Sacha, Kondensat Bosego-Einsteina, Kraków 2004
  • C.J. Pethick and H. Smith, Bose–Einstein Condensation in Dilute Gases (Cambridge University Press, Cambridge, 2002). ISBN 0-521-66580-9.
  • L. P. Pitaevskii and S. Stringari, Bose–Einstein Condensation (Clarendon Press, Oxford, 2003). ISBN 0-19-850719-4.