Równanie Keplera

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równanie Keplerarównanie przestępne wiążące anomalię średnią z anomalią mimośrodową na eliptycznej orbicie keplerowskiej:

E - e \sin E = n (t - t_{p}) = M\,

gdzie:

Manomalia średnia,
Eanomalia mimośrodowa,
emimośród orbity,
tp – moment przejścia ciała przez perycentrum orbity,
t – moment czasu na który liczymy anomalię,
nruch średni \frac{2\pi}{T}, gdzie T jest okresem orbitalnym, który można też wyrazić jako
n = \sqrt{\frac{G (M+m)}{a^{3}}}

gdzie:

Gstała grawitacji,
M – masa ciała centralnego,
m - masa ciała którego ruch opisujemy,
a – długość półosi wielkiej eliptycznej orbity.

Rozwiązanie równania Keplera jest jednym z kroków niezbędnych do powiązania położenia ciała na orbicie z czasem.

Równanie to jest nierozwiązywalne analitycznie. Można je rozwiązać metodami numerycznymi (np. metodą Newtona lub metodą siecznych), poszukując pierwiastka funkcji:


f(E) = E - e \sin E - M

Wyznaczona z równania Keplera anomalia mimośrodowa wiąże się z anomalią prawdziwą poprzez zależność:

\operatorname{tg}\frac{E}{2} = \sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\cdot \operatorname{tg} \frac{\nu}{2}

gdzie:

ν – anomalia prawdziwa.

Odpowiednikiem równania Keplera dla orbity hiperbolicznej jest hiperboliczne równanie Keplera:


M = e \sinh H - H

gdzie:

H - hiperboliczna anomalia mimośrodowa

natomiast w przypadku orbity parabolicznej zależność pomiędzy anomalią prawdziwą a czasem opisuje równanie Barkera:


\frac{1}{3} \tan^{3} \frac {\nu}{2} + \tan \frac{\nu}{2} = 2 n (t-t_{p})