Równanie Pauliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie Pauliego – zaproponowane przez Wolfganga Pauliego w 1927 r. uogólnienie równania Schrödingera na przypadek cząstki o spinie 1/2 (np. elektronu, kwarku, atomu srebra itp.). Równanie to teoretycznie uzasadnia wynik eksperymentu Sterna-Gerlacha, który pokazał, że atomy srebra w postaci gazowej, przechodząc prostopadle do linii pola silnego magnesu, tworzyły dwie odseparowane wiązki – i to niezależnie od kierunku ustawienia pola magnetycznego względem wiązki wchodzącej do układu pomiarowego. Identyczne wyniki uzyskano dla innych cząstek o spinie 1/2. Według klasycznej fizyki oddziaływanie takie powinno prowadzić do w miarę jednorodnego rozmycia wiązki wzdłuż kierunku pola.

Równanie Pauliego jest równaniem nierelatywistycznym i wprowadza spin w sposób fenomenologiczny, tj. tak, by uzyskać zgodność z wynikami eksperymentów. Odpowiednikiem równania Pauliego jest relatywistycznie niezmiennicze równanie Diraca, które uzasadnia istnienie spinu jako wymóg Lorentzowskiej niezmienniczości równań fizyki.

Hamiltonian cząstki bez spinu w polu el-m[edytuj | edytuj kod]

Hamiltonian równania Schrödingera dla cząstki o ładunku i masie m oddziałującej z zewnętrznym polem elektromagnetycznym ma postać:

gdzie:

operator całkowitego pędu cząstki,
oraz potencjały wektorowy i skalarny pola el-m.

Równanie to opisuje poprawnie ruch w polu elektromagnetycznym cząstek, które nie posiadają spinu i własnego momentu magnetycznego.

Hamiltonian cząstki ze spinem w polu el-m[edytuj | edytuj kod]

Wektor operatorów macierzy sigma[edytuj | edytuj kod]

Niektóre cząstki kwantowe posiadają obok ładunku także własny moment magnetyczny (np. elektrony, kwarki, niektóre atomy). Aby opisać oddziaływanie takich cząstek z polem el-m Pauli uzupełnił powyższy hamiltonian o wektor operatorów macierzowych

zbudowany z macierzy (zwanych macierzami Pauliego)

w następujący sposób:

gdzie znak oznacza mnożenie skalarne wektorów (w tym wektorów, których składowe są operatorami, jak w tym wypadku).

Wykonując przekształcenia algebraiczne powyższe równanie upraszcza się do postaci

gdzie – wektor pola magnetycznego.

Wykorzystuje się przy tym tożsamość Pauliego:

gdzie – dowolne wektory.

Operator spinowego momentu magnetycznego[edytuj | edytuj kod]

Wprowadzenie operatora do hamiltonianu oznacza uzupełnienie go o dodatkowy człon który jest operatorem odpowiadającym klasycznej energii potencjalnej oddziaływania między magnetycznym momentem dipolowym cząstki a zewnętrznym polem magnetycznym W przypadku fizyki klasycznej energia ta ma postać

gdzie – wektor momentu magnetycznego.

Można nadać analogiczną postać operatorowi energii w równaniu Pauliego, wprowadzając operator spinowego momentu magnetycznego

przy czym oznacza wartość momentu magnetycznego

Operator Hamiltona przyjmie wtedy postać

Klasycznemu wektorowi momentu magnetycznego odpowiada więc w równaniu Pauliego wektorowy operator macierzowy 2 × 2 o postaci ze względu na wektorowo-macierzową postać operatora Hamiltonian ma więc tu postać macierzy 2 × 2.

Hamiltonian w takiej postaci gwarantuje, że rozwiązania równania Pauliego posiadają zawsze dwie wartości własne niezależnie od tego, jak przyjmie się osie układu współrzędnych w zapisie wektorów pola el-m (co spełnia wymóg, iż prawa fizyki powinny mieć formę niezależną od układu współrzędnych, w którym zapisze się je).

Równanie Pauliego zależne od czasu[edytuj | edytuj kod]

Równanie Pauliego w postaci zależnej od czasu otrzymuje się wstawiając powyżej opisany hamiltonian do równania Schrödingera zależnego od czasu, które ma postać

Stąd otrzymuje się równanie Pauliego

gdzie:

  • – masa cząstki,
  • – ładunek cząstki,
  • – wektor położenia cząstki,
  • – wektorowy operator pędu,
  • – potencjał wektorowy pola el-m,
  • – potencjał skalarny pola el-m,
  • – wektorowy operator momentu magnetycznego,
  • – wektor indukcji pola magnetycznego.

Rozwiązaniami oryginalnego równania Schrödingera są skalarne funkcje falowe W równaniu Pauliego jest inaczej: ze względu na to, że hamiltonian ma tu postać macierzy 2 × 2, rozwiązaniami równania Pauliego są funkcje falowe w postaci wektora o dwóch składowych (tzw. spinory):

gdzie:
– funkcja falowa stanu spinowego cząstki „zgodnego” z kierunkiem pola (stan według notacji Diraca),
– funkcja falowa stanu spinowego cząstki „przeciwnego” do pola (stan według notacji Diraca).

Gęstość prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

Znając funkcje falowe oraz łatwo obliczyć gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w położeniu w chwili w stanach spinowych oraz

gdzie sprzężenie zespolone funkcji.

Wynik ten oznacza, że gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w położeniu w stanie spinowym oraz będą zmieniać się w czasie.

Całkowitą gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w położeniu w chwili niezależnie od jej stanu spinowego powinna być równa sumie prawdopodobieństw znalezienia cząstki w tym położeniu w stanie spinowym oraz w stanie spinowym Aby uzyskać taki wynik trzeba przyjąć definicję nieco inną niż powyższe definicje

gdzie:

– tzw. sprzężenie hermitowskie wektora

W definicji istotna jest kolejność czynników: musi być przed gdyż mamy tu mnożenie wektorów w postaci wiersza i kolumny i tylko dla takiej kolejności mnożenie da w wyniku skalar. (W analogicznym wyrażeniu na gęstość prawdopodobieństwa dla równania Schrödingera funkcja falowa jest skalarem, stąd kolejność mnożenia nie ma znaczenia).

Wykonując obliczenia, otrzymuje się

W ogólnym przypadku powyższa gęstość prawdopodobieństwa będzie zależeć od czasu (np. gdy elektron znajduje się w polu elektromagnetycznym zmieniającym się w czasie).

Równanie Pauliego niezależne od czasu[edytuj | edytuj kod]

W przypadku procesów stacjonarnych, tzn. gdy energia cząstki nie ulega zmianie w czasie (np. ruch elektronu w stałych polach magnetycznym lub elektrycznym), równanie Pauliego upraszcza się do tzw. postaci niezależnej od czasu

gdzie:

  • – stała energia cząstki,
  • – część funkcji falowej zależna tylko od zmiennych przestrzennych.

W równaniu tym zamiast operatora różniczkowania po czasie pojawia się stała Rozwiązanie tego równania prowadzi do wyznaczenia możliwych (dozwolonych) i stałych w czasie wartości energii oraz odpowiadających im funkcji własnych hamiltonianu

zaś funkcje falowe będące rozwiązaniami równania Pauliego zależnego od czasu mają teraz postać iloczynu

Wykonując obliczenia gęstości prawdopodobieństw otrzymuje się

co oznacza stałość w czasie.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, ​ISBN 978-0471569527​.