Równanie Pauliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika kwantowa
Quantum intro pic-smaller.png
Zasada nieoznaczoności Heisenberga
Równanie Schrödingera
Wstęp
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Funkcja falowa  ·

Stan kwantowy  · Stan podstawowy  · Stan stacjonarny  · Równanie własne  · Cząstka w pudle potencjału  · Cząstki identyczne  · Kwantowy oscylator harmoniczny  · Spin  · Superpozycja  · Liczby kwantowe  · Splątanie kwantowe  · Pomiar  · Nieoznaczoność  · Reguła Pauliego  · Dualizm korpuskularno-falowy  · Dekoherencja kwantowa  · Twierdzenie Ehrenfesta  · Tunelowanie

Znani uczeni
Planck  · Bohr  · Sommerfeld  · Bose  · Kramers  · Heisenberg  · Born  · Jordan  · Pauli  · Dirac  · de Broglie  · Schrödinger  · von Neumann  · Wigner  · Feynman  · Candlin  · Bohm  · Everett  · Bell  · Wien

Równanie Pauliego – zaproponowane przez Wolfganga Pauliego uogólnienie równania Schrödingera na przypadek cząstki o spinie 1/2 (np. elektronu, kwarku, atomu srebra, itp.). Równanie to teoretycznie uzasadnia wynik eksperymentu Sterna-Gerlacha, który pokazał, że atomy srebra w postaci gazowej przechodząc prostopadle do linii pola silnego magnesu tworzyły dwie odseparowane wiązki - i to niezależnie od kierunku ustawienia pola magnetycznego względem wiązki wchodzącej do układu pomiarowego. Identyczne wyniki uzyskano dla innych cząstek o spinie 1/2. Według klasycznej fizyki oddziaływanie takie powinno prowadzić do w miarę jednorodnego rozmycia wiązki wzdłuż kierunku pola. Równanie Pauliego jest równaniem nierelatywistycznym, wprowadza spin w sposób fenomenologiczny tak, by uzyskać zgodność z wynikami eksperymentów.

Odpowiednikiem równania Pauliego jest relatywistycznie niezmiennicze równanie Diraca, które uzasadnia istnienie spinu jako wymóg Lorentzowskiej niezmienniczości równań fizyki.

Hamiltonian cząstki w polu elektromagnetycznym[edytuj]

Hamiltonian równania Schrödingera dla cząstki o ładunku oddziałującej z zewnętrznym polem elektromagnetycznym ma postać:

gdzie:

- operator całkowitego pędu cząstki,

oraz ϕ

- potencjały wektorowy i skalarny pola elektromagnetycznego. Równanie to opisuje poprawnie ruch w polu elektromagnetycznym cząstek, które nie posiadają spinu i własnego momentu magnetycznego.

Hamiltonian cząstki ze spinem[edytuj]

Aby uwzględnić fakt, że cząstki kwantowe mają własny moment magnetyczny, Pauli uzupełnił powyższy Hamiltonian o wektor

zbudowanym z macierzy (zwanych macierzami Pauliego)

w następujący sposób:

gdzie znak oznacza mnożenie skalarne wektorów. Wykonując przekształcenia algebraiczne powyższe równania upraszcza się do postaci

gdzie jest wektorem pola magnetycznego.

Widać, że wprowadzenie operatora do Hamiltonianu oznacza uzupełnienie go o dodatkowy człon , który jest operatorem odpowiadającym klasycznej energii potencjalnej oddziaływania między magnetycznym momentem dipolowym cząstki a zewnętrznym polem magnetycznym

,

Różnica polega na tym, że klasycznemu momentowi magnetycznemu odpowiada w równaniu Pauliego operator macierzowy 2 x 2 , ze względu na macierzową postać operatora .

Hamiltonian w takiej postaci gwarantuje, że równanie Pauliego posiada zawsze dwie wartości własne niezależnie od tego, jak przyjmie się osie układu współrzędnych w zapisie wektorów pola (co jest zgodne z zasadą, że prawa fizyki nie zależną od użytego układu współrzędnych).

Równanie Pauliego zależne od czasu[edytuj]

Równanie Pauliego w postaci zależnej od czasu otrzymuje się wstawiając powyżej opisany Hamiltonian do ogólnego równania Schrödingera


gdzie:

  • m - masa cząstki,
  • - ładunek cząstki,
  • - wektor macierzy Pauliego,
  • - operator pędu,
  • - potencjał wektorowy pola,
  • - potencjał skalarny pola,

Zamiast skalarnej funkcji falowej rozwiązaniem równania Pauliego jest funkcja falowa w postaci wektora o dwóch składowych (tzw. spinor):

Jedna składowa jest funkcją falową stanu spinowego cząstki zgodnego z kierunkiem pola , druga - przeciwnego do pola.

Równanie Pauliego niezależne od czasu[edytuj]

W przypadku procesów stacjonarnych, tzn. gdy można założyć, że energia cząstki nie ulega zmianie w czasie, równanie Pauliego upraszcza się do postaci niezależnej od czasu


gdzie - stała energia cząstki. Rozwiązanie tego równania prowadzi do wyznaczenia możliwych, stałych w czasie wartości energii i odpowiadających im funkcji własnych Hamiltonianu .

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe (2006). Quantum Mechanics 2. Wiley, J. ISBN 978-0471569527.