Równanie Pauliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie Pauliego – zaproponowane przez Wolfganga Pauliego w 1927 r. uogólnienie równania Schrödingera na przypadek cząstki o spinie 1/2 (np. elektronu, kwarku, atomu srebra itp.). Równanie to teoretycznie uzasadnia wynik eksperymentu Sterna-Gerlacha, który pokazał, że atomy srebra w postaci gazowej przechodząc prostopadle do linii pola silnego magnesu tworzyły dwie odseparowane wiązki – i to niezależnie od kierunku ustawienia pola magnetycznego względem wiązki wchodzącej do układu pomiarowego. Identyczne wyniki uzyskano dla innych cząstek o spinie 1/2. Według klasycznej fizyki oddziaływanie takie powinno prowadzić do w miarę jednorodnego rozmycia wiązki wzdłuż kierunku pola. Równanie Pauliego jest równaniem nierelatywistycznym, wprowadza spin w sposób fenomenologiczny tak, by uzyskać zgodność z wynikami eksperymentów.

Odpowiednikiem równania Pauliego jest relatywistycznie niezmiennicze równanie Diraca, które uzasadnia istnienie spinu jako wymóg Lorentzowskiej niezmienniczości równań fizyki.

Hamiltonian cząstki w polu elektromagnetycznym[edytuj | edytuj kod]

Hamiltonian równania Schrödingera dla cząstki o ładunku i masie m oddziałującej z zewnętrznym polem elektromagnetycznym ma postać:

,

gdzie:

– operator całkowitego pędu cząstki,

oraz ϕ

– potencjały wektorowy i skalarny pola elektromagnetycznego. Równanie to opisuje poprawnie ruch w polu elektromagnetycznym cząstek, które nie posiadają spinu i własnego momentu magnetycznego.

Hamiltonian cząstki ze spinem[edytuj | edytuj kod]

Aby uwzględnić fakt, że cząstki kwantowe mają własny moment magnetyczny, Pauli uzupełnił powyższy Hamiltonian o wektor

zbudowanym z macierzy (zwanych macierzami Pauliego)

w następujący sposób:

,

gdzie znak oznacza mnożenie skalarne wektorów (w tym wektorów, których składowe są operatorami, jak w tym wypadku). Wykonując przekształcenia algebraiczne powyższe równania upraszcza się do postaci

,

gdzie jest wektorem pola magnetycznego.

Widać, że wprowadzenie operatora do Hamiltonianu oznacza uzupełnienie go o dodatkowy człon , który jest operatorem odpowiadającym klasycznej energii potencjalnej oddziaływania między magnetycznym momentem dipolowym cząstki a zewnętrznym polem magnetycznym

,

przy czym wartość momentu magnetycznego wynosi .

Klasycznemu momentowi magnetycznemu odpowiada więc w równaniu Pauliego operator macierzowy 2 × 2 o postaci , ze względu na macierzową postać operatora .

Hamiltonian w takiej postaci gwarantuje, że równanie Pauliego posiada zawsze dwie wartości własne niezależnie od tego, jak przyjmie się osie układu współrzędnych w zapisie wektorów pola (co jest zgodne z zasadą, że prawa fizyki nie zależną od użytego układu współrzędnych).

Równanie Pauliego zależne od czasu[edytuj | edytuj kod]

Równanie Pauliego w postaci zależnej od czasu otrzymuje się wstawiając powyżej opisany Hamiltonian do ogólnego równania Schrödingera

,

gdzie:

  • m – masa cząstki,
  • – ładunek cząstki,
  • – wektor macierzy Pauliego,
  • – operator pędu,
  • – potencjał wektorowy pola,
  • – potencjał skalarny pola.

Zamiast skalarnej funkcji falowej rozwiązaniem równania Pauliego jest funkcja falowa w postaci wektora o dwóch składowych (tzw. spinor):

.

Jedna składowa jest funkcją falową stanu spinowego cząstki zgodnego z kierunkiem pola , druga – przeciwnego do pola.

Gęstość prawdopodobieństwa[edytuj | edytuj kod]

Gęstość prawdopodobieństwa definiuje się nieco inaczej niż w równaniu Schrödingera

gdzie
- tzw. sprzężenie hermitowskie wektora

Zauważmy, że w definicji gęstości prawdopodobieństwa dla równania Pauliego istotna jest kolejność czynnikówː musi być przed , gdyż mamy tu mnożenie wektorów w postaci wiersza i kolumny i tylko dla takiej kolejności mnożenie da w wyniku skalar. (W analogicznym wyrażenu na gęstość prawdopodobieństwa dla równania Schrödingera funkcja falowa jest skalarem, stąd kolejność mnożenia nie ma znaczenia).

Wykonując obliczenia otrzymuje się

Oznacza to, żeː gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w położeniu w chwili jest równa sumie prawdopodobieństw znalezienia cząstki w tym położeniu w stanie spinowym oraz w stanie spinowym .

Równanie Pauliego niezależne od czasu[edytuj | edytuj kod]

W przypadku procesów stacjonarnych, tzn. gdy można założyć, że energia cząstki nie ulega zmianie w czasie, równanie Pauliego upraszcza się do postaci niezależnej od czasu

,

gdzie – stała energia cząstki. Rozwiązanie tego równania prowadzi do wyznaczenia możliwych, stałych w czasie wartości energii i odpowiadających im funkcji własnych Hamiltonianu .

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Frank Laloe, Quantum Mechanics 2, Wiley J., 2006, ​ISBN 978-0471569527​.