Równanie algebraiczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie algebraicznerównanie w postaci , gdzie jest wielomianem stopnia jednej lub wielu zmiennych ( ).

Np. równanie algebraiczne jednej zmiennej ma postać

gdzie:

  • - liczba całkowita nieujemna
  • - elementy pewnego ciała, nazywanymi współczynnikami równania
  • - zmienna (niewiadoma, poszukiwane rozwiązanie równania)

Zakłada się, że współczynniki równania algebraicznego nie są wszystkie równe zero.

Stopniem równania nazywa się największą liczbę naturalną n, dla której .

Klasyfikacja równań[edytuj | edytuj kod]

Pojęcie pierwiastków równania[edytuj | edytuj kod]

Pierwiastkami lub rozwiązaniami równania nazywa się wartości niewiadomej x, które spełniają równanie (to znaczy po podstawieniu ich w miejsce x zamieniają równanie w tożsamość); są one jednocześnie pierwiastkami wielomianu W(x).

Co znaczy rozwiązać równanie?[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązać równanie algebraiczne w ciele T znaczy znaleźć wszystkie jego pierwiastki będące elementami ciała T.

Zazwyczaj bierze się takie ciało T, które zawiera wszystkie współczynniki równania. Np. jeżeli wszystkie współczynniki są rzeczywiste, to można rozwiązywać równanie w ciele liczb rzeczywistych, a można też w ciele liczb zespolonych (ponieważ każda liczba rzeczywista jest również liczbą zespoloną).

Twierdzenia[edytuj | edytuj kod]

Tw. 1 (tzw. zasadnicze twierdzenie algebry)

Każde równanie algebraiczne z zespolonymi współczynnikami (z wyjątkiem równania ze stałą częścią lewą) ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.

Tw. 2 Równanie stopnia nie wyższego niż czwarty zawsze można rozwiązać, przy czym pierwiastki mają postać skończonych wyrażeń matematycznych, które

a). zawierają współczynniki danego równania

b). zawierają wyłącznie operacje dodawania, odejmowania, mnożenia, dzielenia, potęgowania, pierwiastkowania.

Tw. 3 (twierdzenie Abela-Ruffiniego)

Dla równań stopnia wyższego niż czwarty w przypadku ogólnym powyżej opisane metody nie mogą istnieć.

Dla rozwiązywania równań stopnia wyższego niż czwarty często są potrzebne przybliżone metody numeryczne.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]