Równanie ciągłości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie ciągłości – matematyczny zapis w postaci równania opisujący zmianę rozkładu wielkości fizycznej w ośrodku ciągłym. Szczególnie prostą formę przyjmuje dla wielkości spełniającej prawo zachowania. Np. wyraża zasadę zachowania ładunku, zasadę zachowania masy, a nawet zasadę zachowania prawdopodobieństwa.

Istotne jest, że równanie ciągłości wyraża lokalną zasadę zachowania, tzn. jeśli w infinitezymalnym obszarze maleje dana substancja (ładunek, masa, prawdopodobieństwo), to substancja ta nie pojawia się w miejscu dowolnie odległym od tego obszaru, ale wypływa (w postaci prądu) przez powierzchnię, otaczającą ten obszar.

Równanie ciągłości w postaci różniczkowej[edytuj | edytuj kod]

Równanie ciągłości w postaci różniczkowej dla wielkości zachowawczej ma postać

czyli

tzn. dywergencja gęstości prądu danej substancji jest równa prędkości zmniejszania się gęstości tej substancji.

Np.

gęstość prądu elektrycznego,
gęstości ładunku elektrycznego.

Pojęcia gęstość prądu substancji oraz gęstość substancji są definiowane analogicznie do gęstości prądu elektrycznego oraz gęstości ładunku elektrycznego.

Poglądowe objaśnienie równania ciągłości[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli w powyższym wzorze zamiast pochodnych wstawi się ilorazy różnicowe

to można poglądowo wytłumaczyć sens równania ciągłości: Jeśli z danego obszaru więcej prądu wypływa niż do niego wpływa, czyli np.

to różnica między gęstością ładunku w tym obszarze w chwili późniejszej i wcześniejszej jest ujemna

co oznacza, że gęstość ładunku maleje w tym obszarze.

Równania ciągłości relatywistyczne[edytuj | edytuj kod]

Postać relatywistyczna równania ciągłości[edytuj | edytuj kod]

Oznaczając współrzędne czterowektora położenia

oraz stosując definicję czterowektora gęstości prądu elektrycznego (lub czterowektora gęstości prądu dowolnej innej substancji), tj. przyjmując

z wcześniejszej wersji równania ciągłości otrzyma się

lub, po zastosowaniu konwencji sumacyjnej Einsteina

gdzie

Zasada lokalnego zachowania substancji wyrażona poprzez równanie ciągłości oznacza więc, że:

Jeżeli dana substancja jest zachowana lokalnie, to
czterodywergencja prądu tej substancji zeruje się.

Znaczenie postaci relatywistycznej[edytuj | edytuj kod]

Znaczenie zapisania równania ciągłości w postaci relatywistycznie niezmienniczej, tj. za pomocą 4-wektora prądu oraz 4-dywergencji jest następujące:

Jeżeli dana substancja spełnia równanie ciągłości według jakiegoś obserwatora, to będzie spełniać to równanie według dowolnego obserwatora, poruszającego się względem niego.

Tzn. obserwator ten sformułuje równanie ciągłości w analogicznej postaci

gdzie:

– 4-prąd, mierzony przez tego obserwatora,
– 4-wektor położenia w układzie tego obserwatora.

Przykład: Zasada zachowania masy[edytuj | edytuj kod]

W dynamice płynów lokalną zasadę zachowania masy wyraża wzór

gdzie:

– gęstość płynu,
– prędkość płynu,
– czas,

przy czym

– gęstość prądu masy.

Równanie ciągłości w postaci całkowej[edytuj | edytuj kod]

Równanie ciągłości może być również zapisane w postaci całkowej

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa 2006.