Równanie ciągłości

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Równanie ciągłości jest matematyczną postacią prawa zachowania dla ośrodków ciągłych.

Ma liczne zastosowania, np. do wyrażenia zasady zachowania ładunku, zasady zachowania masy.

Zasada zachowania ładunku[edytuj | edytuj kod]

Równanie ciągłości dla elektromagnetyzmu jest matematyczną postacią zasady zachowania ładunku i wyraża się wzorem:

 \nabla \cdot \mathbf{J} = - {\partial \varrho \over \partial t}

czyli dywergencja gęstości prądu jest równa prędkości zmniejszania się gęstości ładunku .

Wzór powyższy można tłumaczyć w następujący sposób – różnice w gęstości prądu wypływającego z pewnej objętości powodują zmniejszania się gęstości ładunku w tej objętości.

Mówiąc prościej: źródłem prądu są poruszające się ładunki.

Tensorowe równanie ciągłości[edytuj | edytuj kod]

Oznaczając x^0=ct,x^1=x,x^2=y,x^3=z\;, oraz stosując definicję czterowektora gęstości prądu elektrycznego, z poprzedniego równania otrzymujemy:

{{\partial c\rho}\over{\partial ct}}+{{\partial J_x}\over{\partial x}}+{{\partial J_y}\over{\partial y}}+{{\partial J_z}\over{\partial z}}=0,

co w notacji Einsteina można zapisać w postaci zwartej:

{{\partial J^{\mu}}\over{\partial x^{\mu}}}=0

Zasada zachowania masy[edytuj | edytuj kod]

W dynamice płynów lokalną zasadę zachowania masy wyraża wzór w postaci różniczkowej:

 {\partial \varrho \over \partial t} + \nabla \cdot (\varrho \mathbf{u}) = 0

gdzie:

ρ – gęstość płynu,
u – prędkość płynu,
t – czas.

Równanie ciągłości może być również zapisane w postaci całkowej

\frac{d}{dt}\int_V \rho dV = -\int_V \nabla\cdot(\rho \vec{u})dV

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • David J. Griffiths,Podstawy elektrodynamiki, PWN Warszawa 2006.