Równanie fali elektromagnetycznej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie fali elektromagnetycznejrównanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu opisujące rozchodzenie się fali elektromagnetycznej w ośrodku lub próżni. Równanie wyrażone z użyciem pola elektrycznego E lub pola magnetycznego B ma postać jednorodną:

gdzie cm to prędkość światła w ośrodku materialnym. Dla próżni cm = c = 299 792 458 m/s[1].

Równanie fali elektromagnetycznej wyprowadza się z równań Maxwella.

Prędkość propagacji[edytuj | edytuj kod]

W próżni[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli fala rozchodzi się w próżni, to

oznacza prędkość światła w próżni – stałą fizyczną, która definiuje metr, podstawową jednostkę długości w układzie SI. Przenikalność magnetyczna i przenikalność elektryczna próżni to ważne stałe fizyczne odgrywające ważną role w teorii elektromagnetyzmu. Ich wartości[2] (w jednostkach układu SI) podano w tabeli poniżej:

Stała Nazwa Wartość liczbowa Jednostka (układ SI) Rodzaj
prędkość światła w próżni metrów na sekundę zdefiniowana
przenikalność elektryczna próżni faradów na metr wyprowadzona;
przenikalność magnetyczna próżni henrów na metr zdefiniowana
impedancja falowa próżni omy wyprowadzona;

W ośrodku materialnym[edytuj | edytuj kod]

Prędkość światła w liniowym, izotropowym niedyspersyjnym ośrodku materialnym wynosi

gdzie

jest współczynnikiem załamania ośrodka, jest przenikalnością magnetyczna ośrodka, a przenikalnością elektryczną ośrodka.

Pochodzenie równania fali elektromagnetycznej[edytuj | edytuj kod]

Zasada zachowania ładunku[edytuj | edytuj kod]

Zasada zachowania ładunku wymaga, aby tempo zmiany całkowitego ładunku zamkniętego w objętości V było równe sumie algebraicznej prądów płynących przez powierzchnię S otaczającą tę objętość:

gdzie j to gęstość prądu (w amperach na metr kwadratowy) płynącego przez powierzchnie, a ρ – gęstość ładunku elektrycznego (w kulombach na metr sześcienny) w każdym punkcie objętości V.

Korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa, wyrażenie to można przekształcić z postaci całkowej na postać różniczkową:

Prawo Ampère’a przed poprawką Maxwella[edytuj | edytuj kod]

W swojej oryginalnej postaci prawo Ampera wiąże pole magnetyczne B z gęstością objętościową prądu j:

gdzie S to otwarta powierzchnia rozpięta na krzywej C. Postać całkową można zamienić na postać różniczkową, korzystając z twierdzenia Stokesa:

Niespójność prawa Ampera i zasady zachowania ładunku[edytuj | edytuj kod]

Stosując dywergencje po obu stronach prawa Ampera, otrzymujemy:

Dywergencja z rotacji dowolnego pola wektorowego (tym samym pola magnetycznego B) zawsze jest równa zero:

Łącząc te dwa równania, otrzymujemy

Ponieważ to niezerowa stała, możemy stwierdzić

Co jest sprzeczne z zasada zachowania ładunku, która mówi, że

Dlatego, tak jak w przypadku prawa Kirchhoffa, prawo Ampera obowiązuje tylko wówczas, gdy gęstość ładunku jest stała, co wyklucza sytuację, która ma miejsce podczas ładowania i rozładowywania kondensatora.

Poprawka Maxwella do prawa Ampera[edytuj | edytuj kod]

Prawo Gaussa w postaci całkowej można zapisać równaniem

gdzie S to zamknięta powierzchnia obejmująca objętość V. Postać całkową możemy zamienić na postać różniczkową, korzystając z twierdzenia Ostrogradskiego-Gaussa:

Różniczkując obie strony po czasie i zmieniając kolejność różniczkowania po lewej stronie równania, otrzymujemy:

To prowadzi do wniosku, że oprócz gęstości prądu j źródłem pola magnetycznego jest też tzw. prąd przesunięcia:

Tak więc prawo Ampera w postaci uogólnionej wyraża równanie

Hipoteza Maxwella o świetle jako fali elektromagnetycznej[edytuj | edytuj kod]

Pocztówka od Maxwell do Petera Taita

W swojej pracy z roku 1864 zatytułowanej Dynamiczna teoria pola elektromagnetycznego Maxwell wykorzystał swoją poprawkę do prawa Ampera, którą opublikował w trzeciej części pracy z 1861 roku pt. O fizycznych liniach sił[3]. W części czwartej zatytułowanej Elektromagnetyczna teoria światła[4] Maxwell powiązał prąd przesunięcia z innymi równaniami elektromagnetyzmu i otrzymał równanie fali o prędkości równej prędkości światła. Komentując to:

Zgodność wyników pozwala stwierdzić, że światło i magnetyzm są manifestacją tegoż samego zjawiska, tak więc światło zgodnie z prawami elektromagnetyzmu jest elektromagnetycznym zaburzeniem rozchodzącym się w polu[5].

Maxwellowskie wyprowadzenie równania fali elektromagnetycznej we współczesnej fizyce zastąpione zostało bardziej przystępną metodą, korzystającą z poprawionego prawa Ampera i prawa Faradaya.

Aby otrzymać równanie fali elektromagnetycznej współczesną metodą, korzystamy z postaci równań Maxwella opracowanych przez Heaviside’a. Dla próżni równania te przybierają postać:

Działając operatorem rotacji na obie strony równań zawierających operator rotacji, otrzymujemy:

Korzystając z tożsamości wektorowej

gdzie to dowolna funkcja wektorowa przestrzeni, otrzymujemy równania falowe:

gdzie

to prędkość światła w próżni.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Do oznaczenia prędkości światła w próżni stosuje się również oznaczenie c0. Patrz NIST Special Publication 330, Appendix 2, s. 45.
  2. Dane z NIST.
  3. O fizycznych liniach sił.
  4. Maxwell 1864 4 (strona 497 pracy lub 9 dokumentu pdf).
  5. Patrz Maxwell 1864 5, strona 499 pracy lub strona 1 dokumentu pdf.