Równanie funkcyjne

Równanie funkcyjne – równanie, w którym niewiadomą jest funkcja.

Przykłady

• Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe.
• Równanie Abela $\alpha (f(x))=\alpha (x)+1$.
• Równanie $f(x+y)=f(x)+f(y)$ spełniają funkcje addytywne.
• Równania $f(x)=f(-x)$ oraz $f(x)=-f(-x)$ spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste.
• Znajdźmy wszystkie funkcje $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$, dla których $f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}$.

  Podstawiając $x=y=0$, otrzymujemy $f(0)^{2}=2f(0)^{2}$, czyli $f(0)=0$.

  Niech $y=-x$, wówczas

  $0=f(0)^{2}=f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}$.

  Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość $f(x)=0$ jest spełniona dla każdego $x$. Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest $f(x)=0$.

• Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki $a_{1}=1,a_{n+1}=(n+1)a_{n}$ jest ciąg $a_{n}=n!$.
• Użycie układu równań funkcyjnych w alternatywnej definicji funkcji trygonometrycznych.

Równanie Cauchy’ego

Ważnym przykładem równania funkcyjnego jest równanie Cauchy’ego $f(x+y)=f(x)+f(y)$. Cauchy rozwiązał następujące równania funkcyjne w dziedzinie funkcji ciągłych.

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania $\mathbf {f(x+y)=f(x)+f(y)}$. Jedynymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(x+y)=f(x)+f(y)$ są funkcje liniowe $f(x)=ax$.

Dowód. Na początek zauważmy dwie rzeczy. Stosując prostą indukcję można pokazać, że $f(x_{1}+\dots +x_{n})=f(x_{1})+\dots +f(x_{n})$. Zauważmy dalej, że $f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)$, czyli $f(0)=0$.

Niech teraz $a=f(1)$. Pokażemy, że równość $f(x)=ax$ zachodzi, gdy $x$ jest liczbą naturalną, całkowitą, wymierną, a w końcu rzeczywistą. Mamy

$f(n)=f(\underbrace {1+\dots +1} _{n})=\underbrace {f(1)+\dots +f(1)} _{n}=an$

dla każdego $n\in \mathbb {N}$.

Dalej $f(n)+f(-n)=f(n+(-n))=f(0)=0$, czyli $f(-n)=-f(n)=a(-n)$. To oznacza, że $f(x)=ax$ dla każdego $x\in \mathbb {Z}$, gdzie $\mathbb {Z}$ oznacza zbiór liczb całkowitych.

Dalej mamy

$a=f(1)=f{\Big (}\underbrace {{\frac {1}{n}}+\dots +{\frac {1}{n}}} _{n}{\Big )}=\underbrace {f{\Big (}{\frac {1}{n}}{\Big )}+\dots +f{\Big (}{\frac {1}{n}}{\Big )}} _{n}$,

co daje $f\left({\frac {1}{n}}\right)=a{\frac {1}{n}}$. Niech teraz ${\frac {m}{n}}$ będzie dowolną liczbą wymierną. Wówczas

$f\left({\frac {m}{n}}\right)=f{\bigg (}\underbrace {{\frac {1}{n}}+\dots +{\frac {1}{n}}} _{m}{\bigg )}=\underbrace {f\left({\frac {1}{n}}\right)+\dots +f\left({\frac {1}{n}}\right)} _{m}=a\cdot {\frac {m}{n}}$.

Zatem równość $f(x)=ax$ została pokazana dla każdej liczby wymiernej $x\in \mathbb {Q}$.

Z ciągłości funkcji $f$ wynika równość $f(x)=ax$ dla każdej liczby rzeczywistej $x\in \mathbb {R}$.

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania $\mathbf {f(x+y)=f(x)f(y)}$. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(x+y)=f(x)f(y)$ są funkcje wykładnicze $f(x)=a^{x}$.

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania $\mathbf {f(xy)=f(x)+f(y)}$. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(xy)=f(x)+f(y)$ są funkcje logarytmiczne $f(x)=\log _{a}x$.

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania $\mathbf {f(xy)=f(x)f(y)}$. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(xy)=f(x)f(y)$ są funkcje potęgowe $f(x)=x^{a}$.

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania $\mathbf {f(x+y)+f(y-x)=2f(x)f(y)}$. Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania $f(x+y)+f(y-x)=2f(x)f(y)$ są funkcje cosinus $f(x)=\cos x$ i cosinus hiperboliczny $f(x)=\cosh x$.

Bibliografia

• J. Aczél, J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, Cambridge 1989.
• J. Aczél, S. Gołąb, Funktionalgleichungen der Theorie der Geometrischen Objekte, PWN Warszawa 1960.
• J. Dhombres, Some aspects of functional equations, Chulalongkorn Univ., Bangkok 1979.
• G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, PWN, Warszawa 1999.
• D. Ilse, I. Lehman, W. Schulz, Gruppoide und Funktionalgleichungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1984.
• M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, Polish Scientific Publishers & Silesian University, Warszawa-Kraków-Katowice 1985.