Równanie funkcyjne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie funkcyjnerównanie, w którym niewiadomą jest funkcja.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe.
  • Równanie Abela .
  • Równanie spełniają funkcje addytywne.
  • Równania oraz spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste.
  • Znajdźmy wszystkie funkcje , dla których .
    Podstawiając , otrzymujemy , czyli .
    Niech , wówczas
    .
    Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość jest spełniona dla każdego . Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest .
  • Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki jest ciąg .
  • Użycie układu równań funkcyjnych w alternatywnej definicji funkcji trygonometrycznych.

Równanie Cauchy’ego[edytuj | edytuj kod]

Ważnym przykładem równania funkcyjnego jest równanie Cauchy’ego . Cauchy rozwiązał następujące równania funkcyjne w dziedzinie funkcji ciągłych.

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania . Jedynymi ciągłymi rozwiązaniami równania funkcje liniowe .

Dowód. Na początek zauważmy dwie rzeczy. Stosując prostą indukcję można pokazać, że . Zauważmy dalej, że , czyli .

Niech teraz . Pokażemy, że równość zachodzi, gdy jest liczbą naturalną, całkowitą, wymierną, a w końcu rzeczywistą. Mamy

dla każdego .

Dalej , czyli . To oznacza, że dla każdego , gdzie oznacza zbiór liczb całkowitych.

Dalej mamy

,

co daje . Niech teraz będzie dowolną liczbą wymierną. Wówczas

.

Zatem równość została pokazana dla każdej liczby wymiernej .

Z ciągłości funkcji wynika równość dla każdej liczby rzeczywistej .

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania . Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania funkcje wykładnicze .

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania . Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania funkcje logarytmiczne .

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania . Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania funkcje potęgowe .

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania . Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje cosinus i cosinus hiperboliczny .

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • J. Aczél, J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, Cambridge 1989.
  • J. Aczél, S. Gołąb, Funktionalgleichungen der Theorie der Geometrischen Objekte, PWN Warszawa 1960.
  • J. Dhombres, Some aspects of functional equations, Chulalongkorn Univ., Bangkok 1979.
  • G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, PWN, Warszawa 1999.
  • D. Ilse, I. Lehman, W. Schulz, Gruppoide und Funktionalgleichungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1984.
  • M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, Polish Scientific Publishers & Silesian University, Warszawa-Kraków-Katowice 1985.