Równanie funkcyjne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie funkcyjnerównanie, w którym niewiadomą jest funkcja.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Wszystkie równania różniczkowe i równania całkowe.
  • Równanie Abela
  • Równanie spełniają funkcje addytywne.
  • Równania oraz spełniają odpowiednio funkcje funkcje parzyste i nieparzyste.
  • Znajdźmy wszystkie funkcje dla których
    Podstawiając otrzymujemy czyli
    Niech wówczas
    Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość jest spełniona dla każdego Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest
  • Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki jest ciąg
  • Użycie układu równań funkcyjnych w alternatywnej definicji funkcji trygonometrycznych.

Równanie Cauchy’ego[edytuj | edytuj kod]

Ważnym przykładem równania funkcyjnego jest równanie Cauchy’ego Cauchy rozwiązał następujące równania funkcyjne w dziedzinie funkcji ciągłych.

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania Jedynymi ciągłymi rozwiązaniami równania funkcje liniowe

Dowód. Na początek zauważmy dwie rzeczy. Stosując prostą indukcję można pokazać, że Zauważmy dalej, że czyli

Niech teraz Pokażemy, że równość zachodzi, gdy jest liczbą naturalną, całkowitą, wymierną, a w końcu rzeczywistą. Mamy

dla każdego

Dalej czyli To oznacza, że dla każdego gdzie oznacza zbiór liczb całkowitych.

Dalej mamy

co daje Niech teraz będzie dowolną liczbą wymierną.

Wówczas

Zatem równość została pokazana dla każdej liczby wymiernej

Z ciągłości funkcji wynika równość dla każdej liczby rzeczywistej

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania funkcje wykładnicze

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania funkcje logarytmiczne

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania funkcje potęgowe

Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje cosinus i cosinus hiperboliczny

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • J. Aczél, J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, Cambridge 1989.
  • J. Aczél, S. Gołąb, Funktionalgleichungen der Theorie der Geometrischen Objekte, PWN Warszawa 1960.
  • J. Dhombres, Some aspects of functional equations, Chulalongkorn Univ., Bangkok 1979.
  • G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, PWN, Warszawa 1999.
  • D. Ilse, I. Lehman, W. Schulz, Gruppoide und Funktionalgleichungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1984.
  • M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, Polish Scientific Publishers & Silesian University, Warszawa-Kraków-Katowice 1985.