Ponieważ kwadrat liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, a suma liczb nieujemnych jest równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są równe zeru, więc równość jest spełniona dla każdego Zatem jedyną funkcją spełniającą dane równanie funkcyjne jest
Równania rekurencyjne: jedynym ciągiem spełniającym warunki jest ciąg
Dalej czyli To oznacza, że dla każdego gdzie oznacza zbiór liczb całkowitych.
Dalej mamy
co daje Niech teraz będzie dowolną liczbą wymierną.
Wówczas
Zatem równość została pokazana dla każdej liczby wymiernej
Z ciągłości funkcji wynika równość dla każdej liczby rzeczywistej
Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje wykładnicze
Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje logarytmiczne
Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje potęgowe
Twierdzenie Cauchy’ego o rozwiązaniach ciągłych równania Jedynymi niezerowymi ciągłymi rozwiązaniami równania są funkcje cosinus i cosinus hiperboliczny
J. Aczél, J. Dhombres, Functional equations in several variables, Cambridge University Press, Cambridge 1989.
J. Aczél, S. Gołąb, Funktionalgleichungen der Theorie der Geometrischen Objekte, PWN Warszawa 1960.
J. Dhombres, Some aspects of functional equations, Chulalongkorn Univ., Bangkok 1979.
G.M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, Tom 1, PWN, Warszawa 1999.
D. Ilse, I. Lehman, W. Schulz, Gruppoide und Funktionalgleichungen, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1984.
M. Kuczma, An introduction to the theory of functional equations and inequalities, Polish Scientific Publishers & Silesian University, Warszawa-Kraków-Katowice 1985.