Równanie przewodnictwa cieplnego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Przykład numerycznie wyznaczonej zmiany temperatury w dwuwymiarowym ciele. Wysokość oraz kolor przedstawiają temperaturę.
Numerycznie wyznaczona zmiana temperatury ciała.

Równanie przewodnictwa cieplnegorównanie różniczkowe cząstkowe, opisujące przepływ ciepła przy zadanym jego początkowym rozkładzie w ośrodku oraz przy określonych warunkach brzegowych. Równanie ma postać:

gdzie to początkowy rozkład ciepła. A to szukana zależność rozkładu od czasu .

Rozwiązanie równania przewodnictwa[edytuj]

Poszukujemy rozwiązań w klasie regularności .

Rozwiązaniem podstawowym równania przewodnictwa cieplnego jest:

Można sprawdzić, że spełnia ono:

Jeśli funkcja jest ciągła i ograniczona to funkcja

jest rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego, jest ograniczone i jest dodatkowo klasy . Używając pojęcia splotu można napisać:

Nieskończenie szybkie rozchodzenie się ciepła[edytuj]

Przypuśćmy, że ma zwarty nośnik i na pewnej kuli B jest . Wówczas

dla każdego . Zatem ciepło dochodzi w dowolnie małym czasie do każego punktu przestrzeni, czyli rozchodzi się nieskończenie szybko. Tak oczywiście w rzeczywistości nie jest, dlatego też czasami używa się zaburzonego równania przewodnictwa cieplnego. Do równania wprowadza się wtedy parametr τ będący czasem relaksacji, na podstawie którego można wyznaczyć prędkość propagacji fali cieplnej[1]:

gdzie D to dyfuzyjność cieplna.

Wartość τ jest bardzo mała i wynosi np. 10−11 s dla aluminium, 10−6 s dla ciekłego helu. W przypadku ciekłego helu współczynnik dyfuzji wynosi 10 m2/s, stąd prędkość propagacji 3162 m/s, dlatego w praktyce obliczeniowej przyjmuje się czas relaksacji τ = 0 s i co za tym idzie, nieskończoną prędkość propagacji.

Zasada maksimum dla równania przewodnictwa ciepła[edytuj]

Niech ustalony czas, oraz ograniczona funkcja, będąca rozwiązaniem równania przewodnictwa cieplnego. Oznaczmy oraz . Wówczas

Zasadę maksimum można interpretować fizycznie następująco: w momencie przyjmowana jest największa i najmniejsza wartość temperatury, potem temperatura będzie się stabilizować i "uśredniać", zachowuje się zatem zgodnie z codziennym doświadczeniem.

Wyprowadzenie równania przewodnictwa[edytuj]

Interpretujemy funkcję jako temperaturę w punkcie przestrzeni x w momencie t. Zakładamy, że ciepło ucieka z najcieplejszego do najzimniejszego miejsca, tj. w kierunku przeciwnym do gradientu temperatury.

Ponadto zakładamy, że każdy obszar V ogrzewa się proporcojnalnie do ilości ciepła, która do niego wpłynęła:

A z twierdzenie Gaussa:

gdzie oznacza pochodną normalną funkcji. Zatem dostajemy:

Z dowolności mamy:

czyli:

Poprawność zagadnienia[edytuj]

W ogólności, tzn. dla dowolnie wybranej funkcji , zagadnienie nie jest dobrze postawione, gdyż rozwiązania nie są jednoznaczne. Jeden z przykładów został podany przez Tichonowa.

W klasie ograniczonych rozwiązań równania, tj. zagadnienie ma jednoznaczne rozwiązanie i jest dobrze postawione.

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

  1. Jan Taler: Solving direct and inverse heat conduction problems. Berlin: Springer, 2006, s. 17. ISBN 978-3-540-33470-5.