Równanie różniczkowe Bernoulliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie różniczkowe Bernoulliegorównanie różniczkowe postaci:

,

gdzie . Dla , równanie Bernoulliego upraszcza się do równania liniowego.

Rozwiązanie równania[edytuj | edytuj kod]

Aby rozwiązać równanie Bernoulliego należy podzielić obie strony równania przez , otrzymujemy wtedy:

.

Następnie wprowadzamy pomocniczą zmienną zależną . Wówczas . Wstawiając tę zmienną i jej pochodną do powyższego równania otrzymujemy:

,

które jest równaniem liniowym niejednorodnym.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Rozwiążmy następujące równanie różniczkowe:

.

Podzielmy obie strony równania przez , otrzymamy:

.

Wprowadźmy zmienną , zatem . Po wstawieniu nowej zmiennej do powyższego równania jest:

.

Równanie to jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym i jako takie należy je rozwiązać.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]