Równanie różniczkowe Bernoulliego

Równanie różniczkowe Bernoulliego – równanie różniczkowe postaci:

${\frac {dy}{dx}}+p(x)y+q(x)y^{n}=0,$

gdzie $p(x),q(x)\in C(a,b).$ Dla $n\in {0,1},$ równanie Bernoulliego upraszcza się do równania liniowego.

Rozwiązanie równania

Aby rozwiązać równanie Bernoulliego należy podzielić obie strony równania przez $y^{n},$ otrzymujemy wtedy:

${\frac {1}{y^{n}}}{\frac {dy}{dx}}+p(x)y^{1-n}+q(x)=0\,\,\,(*).$

Następnie wprowadzamy pomocniczą zmienną zależną $z=y^{1-n}.$ Wówczas $z'=(1-n)y^{-n}y'.$ Wstawiając tę zmienną i jej pochodną do powyższego równania otrzymujemy:

${\frac {1}{1-n}}{\frac {dz}{dx}}+p(x)z+q(x)=0,$

które jest równaniem liniowym niejednorodnym.

Przykład

Rozwiążmy następujące równanie różniczkowe:

$y'+{\frac {x}{1-x^{2}}}y-x^{2}y^{\frac {1}{2}}=0.$

Podzielmy obie strony równania przez $y^{\frac {1}{2}},$ otrzymamy:

${\frac {y'}{y^{\frac {1}{2}}}}+{\frac {x}{1-x^{2}}}y^{\frac {1}{2}}-x^{2}=0.$

Wprowadźmy zmienną $z=y^{1-{\frac {1}{2}}}=y^{\frac {1}{2}},$ zatem $z'={\frac {1}{2y^{\frac {1}{2}}}}y'.$ Po wstawieniu nowej zmiennej do powyższego równania jest:

$2z'+{\frac {x}{1-x^{2}}}z-x^{2}=0.$

Równanie to jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym i jako takie należy je rozwiązać.

Zobacz też

• równanie różniczkowe zwyczajne