Równanie różniczkowe Legendre’a

Równanie różniczkowe Legendre’a – liniowe równanie różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego postaci:

$\left(1-x^{2}\right)y''-2xy'+n\left(n+1\right)y=0.$

Jednym z rozwiązań tego równania przy $n\in \mathbb {C}$ są wielomiany Legendre’a (tzw. funkcje kuliste):

$P_{n}(x)={\frac {1}{2^{n}n!}}\cdot {\frac {d^{n}(x^{2}-1)^{n}}{dx^{n}}}.$