Równanie różniczkowe Riccatiego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie różniczkowe Riccatiego – typ równania różniczkowego zwyczajnego nieliniowego rzędu pierwszego.

Równanie postaci:

,

gdzie funkcjami ciągłymi, określonymi na pewnym ustalonym przedziale , nazywane jest równaniem Riccatiego, od nazwiska włoskiego matematyka, Jacopo Riccatiego.

Przypadki szczególne:

Można wykazać, że przez każdy punkt obszaru przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa. Dowodzi to, że całkowanie równania Riccatiego na ogół nie daje się sprowadzić do kwadratur. Znając jednak pewne rozwiązanie szczególne równania Riccatiego można sprowadzić je poprzez podstawienie:

do równania liniowego. Istotnie, po wstawieniu otrzymuje się:

skąd wobec równości:

otrzymuje się równanie różniczkowe liniowe:

.
Do równania Riccatiego można sprowadzić równanie liniowe drugiego rzędu podstawieniem
Równanie Riccatiego można sprowadzić do równania liniowego drugiego rzędu podstawieniem

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]

  1. Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976, s. 464.