Równanie różniczkowe zupełne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równanie różniczkowe zupełnerównanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci:

w którym funkcje ciągłe w pewnym obszarze i takie, że wyrażenie jest różniczką zupełną pewnej określonej w obszarze funkcji dwóch zmiennych

Zatem istnieje taka różniczkowalna funkcja że w każdym punkcie obszaru zachodzą następujące związki:

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie było różniczką zupełną w obszarze jednospójnym jest spełnienie równości:

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Zatem czyli istnieje taka, że:

(1)
(2)

Przekształcając jedno z powyższych równań (np. (2)) otrzymujemy:

Różniczkując powyższe wyrażenie otrzymujemy:

z równania (1)

stąd:

zatem:

czyli:

i upraszczając:

gdzie to stała.