Równanie różniczkowe zupełne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie różniczkowe zupełnerównanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci:

w którym - funkcje ciągłe w pewnym obszarze i takie, że wyrażenie jest różniczką zupełną pewnej określonej w obszarze funkcji dwóch zmiennych .

Zatem istnieje taka różniczkowalna funkcja , że w każdym punkcie obszaru zachodzą następujące związki:

Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, aby wyrażenie było różniczką zupełną w obszarze jednospójnym jest spełnienie równości:

Przykład[edytuj]

Zatem , czyli istnieje taka, że:

(1)
(2)

Przekształcając jedno z powyższych równań (np. (2)) otrzymujemy:

Różniczkując powyższe wyrażenie otrzymujemy:

z równania (1)

Stąd:

Zatem:

Czyli:

i upraszczając:

gdzie to stała.