Równanie sześcienne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie sześcienne lub trzeciego stopniarównanie algebraiczne postaci gdzie Każde równanie sześcienne o współczynnikach rzeczywistych ma przynajmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

W dalszych częściach tego artykułu w pełni przedstawimy metodę rozwiązywania równań sześciennych o współczynnikach zespolonych.

Rys historyczny[edytuj]

Równania sześcienne zostały rozwiązane w pierwszej połowie XVI wieku. W tamtym czasie w Europie nie używano jeszcze liczb ujemnych i każde równanie zapisywano tak aby wszystkie współczynniki były dodatnie. Rozważano więc szereg różnych typów równań trzeciego stopnia. Matematycy wiedzieli jednak, że rozwiązanie ogólnego równania trzeciego stopnia może być zredukowane do rozwiązania jednego z następujących dwóch typów równań:

oraz (gdzie ).

Włoski matematyk Scipione del Ferro podał metodę rozwiązania jednego z tych typów, a prawdopodobnie też i drugiego. Nie rozgłaszał on swoich odkryć i przekazał on swoją metodę jedynie paru osobom, np. jego student Fior wiedział, jak rozwiązać równanie pierwszego typu. Del Ferro zapisywał wszystkie swoje odkrycia w notatniku, który po jego śmierci przeszedł w posiadanie Hannibala Navego, zięcia del Ferro. (Nave był również matematykiem i po śmierci teścia w 1526 r. przejął jego posadę na Uniwersytecie Bolońskim).

Niezależnie (ale i później) równania te były rozwiązane przez Niccolo Tartaglię. Potrafił on rozwiązać niektóre typy równań, kiedy w 1535 zaaranżowano mecz matematyczny pomiędzy Fiorem a Tartaglią. W czasie tej debaty każda ze stron podała drugiej 30 równań do rozwiązania. Podczas gdy zadania przygotowane przez Tartaglię były bardzo różnorodne, te podane przez Fiora dotyczyły tylko jedynego typu równań, które Fior potrafił rozwiązać. Rankiem 13 lutego 1535 Tartaglia odkrył sposób na rozwiązywanie tego typu równań i mecz wygrał. Swojej metody rozwiązywania równań Tartaglia nie chciał jednak ogłosić.

Girolamo Cardano uprosił Tartaglię w 1539 r. o wyjawienie metody rozwiązywania równań sześciennych, w zamian zobowiązując się do dochowania tajemnicy i nieujawniania metody. W 1540 r., Lodovico Ferrari, asystent Cardana, odkrył metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich pozwalało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4, jednak odkrycie to nie mogło zostać opublikowane ze względu na obietnicę daną Tartaglii.

W 1543 r. Cardano i Ferrari odwiedzili Navego, zięcia del Ferro, w Bolonii i dowiedzieli się od niego, że to del Ferro był pierwszym matematykiem, który rozwiązał równania trzeciego stopnia. Cardano uznał, że obietnica dana Tartaglii nie obowiązuje go więcej i opublikował metodę rozwiązywania równań 3. i 4. stopnia w swoim dziele Ars Magna w 1545.

Sprowadzenie do postaci kanonicznej[edytuj]

Najpierw pokażemy, że równanie

(1)

może być sprowadzone do tak zwanej postaci kanonicznej:

(2)

Dzieląc obie strony równania (1) przez otrzymujemy

i stosując podstawienie mamy

Po wymnożeniu, uproszczeniu i poszeregowaniu według potęg otrzymujemy

Wyraz z kwadratem znika i równanie wygląda tak:

Następnie należy zastosować 2 podstawienia:

Otrzymujemy równanie w postaci kanonicznej (2). Każdy pierwiastek tego równania wyznacza pierwiastek równania (1).

Tak więc, jeśli wskażemy jak rozwiązywać równania w postaci kanonicznej, to będziemy mogli rozwiązać każde równanie trzeciego stopnia.

Warto zauważyć, że sprowadzenie do postaci kanonicznej łatwo wykonywać, stosując schemat Hornera, ponieważ i więc poszukiwanie współczynników odpowiedniego wielomianu z to faktycznie rozkładanie wielomianu względem potęg dwumianu

Rozwiązywanie równań kanonicznych[edytuj]

Zwróćmy uwagę, że jeśli znajdziemy jeden pierwiastek równania

(2)

to na mocy tzw. twierdzenia Bézouta możemy podzielić wielomian przez redukując nasze równanie do równania kwadratowego. Rozwiązując to równanie możemy znaleźć pozostałe rozwiązania równania (2). Poniżej najpierw przedstawimy metodę znajdowania jednego pierwiastka naszego równania, a później bardziej szczegółowo opiszemy sposób na znajdowanie wszystkich rozwiązań tego równania.

Jak znaleźć jeden pierwiastek[edytuj]

Rozważamy równanie

(2)

Jeśli (a jest to wtedy gdy ) to znalezienie rozwiązania tego równania sprowadza się do znalezienia liczby, która podniesiona do trzeciej potęgi da nam a to po prostu pierwiastek sześcienny z Poniżej będziemy więc zakładać, że

Przyjmujemy, że Wówczas

(3)

Po dalszym uporządkowaniu informacji ze wzoru (3) otrzymujemy równanie

(4)

Zauważamy, że jeśli

oraz
(5)

(a ), to spełnia równanie (4) wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia on równanie (2). Rozwiązując układ równań (5), otrzymujemy oraz

Stąd

Po pomnożeniu przez otrzymamy

Podstawiając za zmienną pomocniczą otrzymujemy równanie kwadratowe:

(6)

Równanie (6) ma pierwiastek (możliwe że zespolony):

Następnie wybieramy liczbę taką, że Kładziemy   i zauważamy że spełniają równania (5). Jeśli więc położymy

to liczby będą spełniać równanie (4), czyli

jest pierwiastkiem równania (2).

Wszystkie rozwiązania: wzory Cardana[edytuj]

Poniżej będzie przedstawiona metoda, pozwalająca otrzymać wszystkie pierwiastki równania (2), jeśli jeden został już znaleziony według powyższej metody. Niech będą pierwiastkami 3. stopnia z jedynki, tzn.

   

Tak jak wcześniej, niech będzie pierwiastkiem równania (6):

Ustalmy liczby takie, że

  oraz  (zob. drugą równość z (5)).

Zauważmy, że

Zatem dla pewnego mamy, że

Niech będzie takie, że i połóżmy

Wówczas liczby spełniają równania (5). Niech

    oraz  

Uzasadnienie: gdy weźmiemy z indeksem 1, to pomnożenie dodaje 1/3 pełnego kąta, pomnożenie przez kwadrat dodaje 2/3 pełnego kąta. Równie dobrze moglibyśmy brać dodając 2/3 pełnego kąta i dla kwadratu 4/3 = 1/3 pełnego kąta, natomiast nie można brać = 1.

(Powyższe wzory, po wykonaniu w nich podstawień stosownych formuł na nazywane są wzorami Cardana. Są one współczesnym uogólnieniem metody opisanej przez Girolama Cardana w Ars Magna.)

Wykażemy, że liczby są wszystkimi rozwiązaniami równania (2).

Zauważmy najpierw, że więc

(7)

Mamy też

(8)

(przypomnijmy, że oraz patrz (5)). Także

(9)

(tu również korzystamy z równań (5)). Używając równań (7)-(9), otrzymujemy

Stąd już możemy wywnioskować, że są wszystkimi pierwiastkami równania (2).

Przykłady[edytuj]

Prosty przykład[edytuj]

Równanie ma pierwiastki -4,-1,0.

Przechodzimy do formy . p = -4.3333, q=2.592592
= -1.2962+ 1.1547*i ma 3 pierwiastki: 0.8333+0.866*i, -1.16666+0.2886i, 0.3333-1.1547i
niech będzie pierwszym pierwiastkiem.
ma trzy pierwiastki: 0.8333-0.8660i, 0.3333+1.1547, -1.166666-0.28867i
(w tym prostym przypadku pierwiastki są sprzężone, co pozwoli na eliminację części urojonej)
niech będzie ostatnim pierwiastkiem
= -0.5 -0.866i = , stąd m=2, więc n=1
= 0.8333, -0.8666
= 1.6666 y1=-2.3333 y2=0.666
I ostatecznie mamy wyniki ze wzoru  : x0=0, x1=-4, x2=-1

Współczynniki zespolone[edytuj]

Powyższy wzór znajduje pierwiastki zespolone radząc sobie również jeżeli mamy zespolone współczynniki. Weźmy równanie


Wynik można sprawdzić na stronie WolframAlpha.

Dla naszego równania p = 0.83431 + 0.7357·i, q = 2.09853 -0.00568·i. We wzorze na występuje pierwiastek dający dwa rozwiązania, bierzemy jedno = -0.01360 + 0.02031·i.
ma 3 pierwiastki: 0.218141 + 0.191450·i, -0.27487 + 0.0931·i, :0.05673 - 0.284641·i
Wybieramy dla pierwszy pierwiastek = 0.218141 + 0.191450·i.
= -2.08492 -0.014632·i, ma trzy pierwiastki: 0.641345 - 1.1048·i, 0.636169 + 1.107854·i, -1.277515 - 0.0029885·i
Wybieramy dla na przykład ostatni pierwiastek = -1.277515 - 0.0029885·i. = -0.278106 - 0.245233·i jako m wybieramy 0 bo = 1 jest odpowiednim.
A więc również n=1 bo 1*1=1; = -1.05937 + 0.188462·i, = 0.3612975 + 1.201045·i, : = 0.6980765 -1.389507·i
= -0.95681 + 0.3679495, = 0.463861 + 1.3805324, = 0.800640 -1.210020

Podsumowanie[edytuj]

Aby rozwiązać równanie

(1)

o współczynnikach zespolonych, sprowadzamy je do postaci kanonicznej

(2)

gdzie Następnie znajdujemy parę liczb spełniających równania

  oraz  

(Wymaga to rozwiązania równania kwadratowego i wyznaczenia pierwiastków trzeciego stopnia.) Rozwiązaniami równania (1) są liczby

Pierwiastki rzeczywiste równania kanonicznego o współczynnikach rzeczywistych[edytuj]

W oparciu o dyskusję w poprzedniej sekcji możemy podać gotowe wzory na pierwiastki rzeczywiste równań w postaci kanonicznej. Rozważamy następujące równanie:

(2)

gdzie współczynniki liczbami rzeczywistymi. Określmy jego wyróżnik jako

Zależnie od znaku wyróżnika równania mamy 3 możliwości.

Przypadek 1  

Wówczas

jest jedynym pierwiastkiem rzeczywistym równania (2).

Przypadek 2  

Wówczas równanie (2) ma co najwyżej dwa rozwiązania w liczbach rzeczywistych:

  oraz  

Gdy to rozważane równanie ma w liczbach rzeczywistych dokładnie dwa różne pierwiastki; jeden z nich jest podwójny.

Przypadek 3  

W tym przypadku równanie (2) ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste. Aby wyznaczyć i opisać te pierwiastki, używamy funkcji trygonometrycznych i postaci trygonometrycznej liczb zespolonych.

Ponieważ to a stąd

Możemy więc zdefiniować

oraz wybrać liczbę tak, że

Wówczas   i   a zatem liczba spełnia równanie kwadratowe Sprawdzamy, że sprzężone liczby zespolone

  oraz  

spełniają równania (5). Stąd, zgodnie z argumentacją z końca poprzedniej sekcji, znajdujemy, że wszystkie pierwiastki równania (2) są rzeczywiste i są to:

Inne podejście[edytuj]

Rozważamy równanie kanoniczne

(2)

Porównując je do postaci iloczynowej

otrzymujemy nieliniowy układ równań z trzema niewiadomymi, ale o wysokiej symetrii:

Ten nieliniowy układ z trzema niewiadomymi jest jednym z niewielu, które dają się rozwiązac analitycznie. Ponieważ równanie trzecie zawiera iloczyn trzeciego stopnia, wystarczy podstawienie para-trygonometryczne (ważony para-cosinus):

gdzie łatwo zgadnąć aby wyzerować inne potęgi. Dalej prowadzi to do równania kwadratowego, zapisanego prostym układem równań:

co daje już rozwiązanie.

Metoda obciętego szeregu Laurenta (podstawienie Viète’a)[edytuj]

W równaniu kanononicznym podstawiamy

i zawsze znajdujemy, eliminując inne potegi niż trzecia i szósta (podstawienie Viète’a),

co prowadzi do równania kwadratowego na

a dalej do sześciu rozwiazań na ale tylko trzech na jako ze każda liczba rzeczywista lub zespolona rózna od zera ma zawsze trzy pierwiastki trzeciego stopnia.

Zobacz też[edytuj]

Bibliografia[edytuj]