Równoległościan wielowymiarowy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Równoległościan wielowymiarowy – uogólnienie pojęcia równoległoboku i równoległościanu na przestrzenie liniowe bądź afiniczne (w tym unitarne i euklidesowe) dowolnego wymiaru; można go zdefiniować jako bijektywny obraz liniowy bądź afiniczny kostki wielowymiarowej.

Niech Jeśli liniowo niezależnymi wektorami -wymiarowej przestrzeni liniowej to -wymiarowym równoległościanem opartym na tych wektorach nazywa się zbiór

Powyższą definicję można przenieść wprost na przestrzenie afiniczne: jeśli jest -wymiarową przestrzenią afiniczną (w szczególności może być ) i danych jest liniowo niezależnych wektorów przestrzeni to -wymiarowym równoległościanem opartym na wymienionych wektorach i zaczepionym w pewnym punkcie nazywa się zbiór

Objętość[edytuj | edytuj kod]

 Zobacz też: wyznacznik.

Jeśli jest unitarna (zdefiniowano na niej iloczyn skalarny), to można określić -wymiarową objętość równoległościanu jako

gdzie oznacza wyznacznik Grama wektorów Analogicznie określa się objętość równoległościanu w przestrzeniach euklidesowych (przestrzeniach afinicznych z iloczynem skalarnym).

Tak wprowadzona objętość ma własności miary dla równoległościanów i tak jak objętość prostopadłościanów wielowymiarowych jest zgodna z miarą Jordana, czy miarą Lebesgue’a tych figur (w istocie obu można użyć do ich zdefiniowania – zob. objętość przedziału wielowymiarowego).

Objętość -wymiarowa równoległościanu -wymiarowego w dowolnej m-wymiarowej przestrzeni rozpiętego na wektorach gdzie wektor ma w ustalonej bazie współrzędne oblicza się następująco:

Wyznacznik ten można traktować jako zorientowaną objętość.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]