Rachunek wariacyjny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Rachunek wariacyjny – dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla której dany funkcjonał przyjmuje wartość ekstremalną. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji[1].

Uwagi ogólne[edytuj | edytuj kod]

Podstawowym zadaniem rachunku wariacyjnego jest znajdowanie ekstremalnych wartości funkcjonałów o postaci całek oznaczonych, reprezentujących określone wielkości fizyczne takie jak czas, długość, powierzchnia, ciężar, sztywność itp. Zadanie to jest analogiczne do zadania rachunku różniczkowego, poszukiwania ekstremum funkcji Jest ono osiągane w punkcie mającym tę własność, że w przypadku maksimum i w przypadku minimum, gdzie jest małą wariacją zmiennej

W rachunku wariacyjnym poszukujemy takiej funkcji dla której funkcjonał ma tę własność, że w przypadku maksimum i w przypadku minimum, gdzie jest małą wariacją funkcji

Poszukiwanie ekstremum funkcji (o ciągłej pochodnej) w rachunku różniczkowym wymaga rozwiązania równania które jest warunkiem koniecznym istnienia tego ekstremum. Podobnie w rachunku wariacyjnym poszukiwanie ekstremum funkcjonału wymaga spełnienia określonego warunku koniecznego dla jego istnienia, którym okazuje się zwykle pewne równanie różniczkowe dla funkcji

Przykładowe zagadnienia[edytuj | edytuj kod]

Najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Linia geodezyjna.

Zagadnienie znalezienia najkrótszej krzywej łączącej punkty w przestrzeni jest bardzo proste, jeśli wiemy, że będzie to linia prosta. W ogólności jednak, w zależności od metryki przestrzeni taka krzywa może mieć inną postać. Dowód tego faktu opiera się właśnie na rachunku wariacyjnym, ponieważ długość krzywej dana jest pewną całką.

W przypadku płaszczyzny euklidesowej ( z metryką euklidesową), krzywa łącząca punkty i dana jest funkcją taką, że i gdzie

Długość elementu krzywej ma postać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa)

gdzie to małe zmiany współrzędnych.

Wtedy długość całej krzywej dana jest całką:

Metodami rachunku wariacyjnego możemy wyznaczyć krzywą minimalizującą funkcjonał dany tą całką. W tym przypadku krzywa ta dana jest równaniem:

Najkrótszy czas przejazdu[edytuj | edytuj kod]

Pomiędzy miejscowościami i porusza się pojazd w terenie o tak zróżnicowanej nawierzchni, że w danym jej punkcie musi zachować prędkość o wartości Zakładając, że element trasy pojazd przebywa w czasie możemy czas przejazdu z A do B po trasie obliczyć za pomocą całki

której wartość zależy od wyboru trasy i osiąga minimum dla trasy optymalnej

Zasada Fermata[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Zasada Fermata.

Związane z szukaniem geodezyjnej jest szukanie drogi promienia światła. Jeśli współczynnik załamania światła w ośrodku jest stały, to światło biegnie po liniach prostych, ale załamuje się przy zmianach współczynnika załamania. Ogólnie, zgodnie z zasadą Fermata, światło porusza się po krzywej dla której czas biegu promienia jest najkrótszy.

Czas, w którym światło pokonuje drogę wynosi gdzie jest prędkością światła w ośrodku, to prędkość światła w próżni, a to bezwzględny współczynnik załamania światła.

Wobec tego funkcjonał, który chcemy minimalizować ma postać:

W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy:

gdzie to krzywa, po której porusza się promień, taka, że i

Metody rachunku wariacyjnego[edytuj | edytuj kod]

Równania Eulera-Lagrange’a[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: Równania Eulera-Lagrange’a.

Są to podstawowe równania rachunku wariacyjnego[2], służące do znajdowania ekstremów funkcjonałów danych całką. Rozwiązaniami równań E-L są funkcje, dla których całka przyjmuje wartości ekstremalne.

Jeśli funkcjonał ma postać

to równania E-L mają postać

gdzie może być liczbą rzeczywistą albo wektorem – w drugim przypadku dostajemy układ równań

gdzie jest -tą współrzędną wektora

Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do równań różniczkowych cząstkowych, które w ogólności są bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. В.И. Смирнов, Курс высшей математики, t.IV, Гос. Издат. технико-теоретической литературы, Москва-Ленинград 1951
  2. K. Tatarkiewicz, Rachunek wariacyjny, cz.1-2, WNT, Warszawa 1970

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • John R. Taylor: Mechanika klasyczna. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 212–232. ISBN 978-83-01-14674-0.
  • Frederick W. Byron, Robert W. Fuller: Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975, s. 45–53.