Rachunek wariacyjny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla których dany funkcjonał przyjmuje wartości ekstremalne. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.

Przykładowe zagadnienia[edytuj | edytuj kod]

Najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Linia geodezyjna.

Zagadnienie znalezienia najkrótszej krzywej łączącej punkty w przestrzeni jest bardzo proste, jeśli wiemy, że będzie to linia prosta. W ogólności jednak, w zależności od metryki taka krzywa może mieć inną postać. Dowód tego faktu opiera się właśnie na rachunku wariacyjnym, ponieważ długość krzywej dana jest pewną całką.

W przypadku płaszczyzny euklidesowej ( \mathbb R^2 z metryką euklidesową) z krzywa łącząca punkty  A i  B dana jest funkcją  y(x): [0,1] \to \mathbb R, taką, że  A=(0,y_0) i  B=(1,y_1) , gdzie  y_i = y(i) .

Długość elementu krzywej ma postać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa)

 \sqrt{dx^2 +dy^2} gdzie  dx, dy to małe zmiany współrzędnych.

Wtedy długość całej krzywej dana jest całką:

 \int\limits_0^1 \sqrt{1+(y'(x))^2} dx

Metodami rachunku wariacyjnego możemy wyznaczyć krzywą minimalizującą funkcjonał dany tą całką. W tym przypadku krzywa dana jest równaniem:

 y = (y_1 - y_0) x + y_0 .

Zasada Fermata[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Zasada Fermata.

Związane z szukaniem geodezyjnej jest szukanie drogi promienia światła. Jeśli współczynnik załamania światła w ośrodku jest stały, to światło biegnie po liniach prostych, ale załamuje się przy zmianach współczynnika załamania. Ogólnie, zgodnie z zasadą Fermata, światło porusza się po krzywej, dla której czas biegu promienia jest najkrótszy.

Czas, w którym światło pokonuje drogę  ds wynosi  dt = \frac{ds}{v}=\frac{1}{c}n \; ds gdzie ,v jest prędkością światła w ośrodku,  c to prędkością światła w próżni a  n to współczynnikiem załamania światła.

Wobec tego funkcjonał, który chcemy minimalizować ma postać:

 \int\limits_A^B n \; ds

W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy:

 \int\limits_0^1 n(x,y)\sqrt{1+(y'(x))^2} \; dx

gdzie  y(x) to krzywa, po której porusza się promień, taka, że  A=(0,y(0)) i  B=(1,y(1)) .

Metody rachunku wariacyjnego[edytuj | edytuj kod]

Równania Eulera-Lagrange'a[edytuj | edytuj kod]

Information icon.svg Osobny artykuł: Równania Eulera-Lagrange'a.

Są to podstawowe równania rachunku wariacyjnego, służące do znajdowania ekstremów funkcjonałów danych całką. Rozwiązaniami równań E-L są funkcje, dla których całka przyjmuje wartości ekstremalne.

Jeśli funkcjonał ma postać

S = \int\limits_{t_1}^{t_2} L(x(t),x'(t),t) \; dt

to równania E-L mają postać

\frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial x'}\right ) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0

gdzie x może być liczbą rzeczywistą albo wektorem - w drugim przypadku dostajemy układ równań

\frac{d}{dt} \left (\frac{\partial L}{\partial x_i'}\right ) - \frac{\partial L}{\partial x_i} = 0

gdzie x_i jest współrzędną.

Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do równań różniczkowych cząstkowych, które w ogólności są bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • John R. Taylor: Mechanika klasyczna. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 212-232. ISBN 978-83-01-14674-0.
  • Frederick W. Byron, Robert W. Fuller: Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975, s. 45-53.