Rachunek wariacyjny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Rachunek wariacyjny - dziedzina analizy matematycznej zajmująca się szukaniem ekstremów funkcjonałów określonych na przestrzeniach funkcyjnych.

Funkcjonały są to odwzorowania z przestrzeni wektorowej w liczby rzeczywiste. Rachunek wariacyjny zajmuje się więc szukaniem funkcji, dla których dany funkcjonał przyjmuje wartości ekstremalne. Najczęściej funkcjonał dany jest całką oznaczoną funkcji.

Przykładowe zagadnienia[edytuj]

Najkrótsza krzywa łącząca dwa punkty[edytuj]

 Osobny artykuł: Linia geodezyjna.

Zagadnienie znalezienia najkrótszej krzywej łączącej punkty w przestrzeni jest bardzo proste, jeśli wiemy, że będzie to linia prosta. W ogólności jednak, w zależności od metryki taka krzywa może mieć inną postać. Dowód tego faktu opiera się właśnie na rachunku wariacyjnym, ponieważ długość krzywej dana jest pewną całką.

W przypadku płaszczyzny euklidesowej ( z metryką euklidesową) z krzywa łącząca punkty i dana jest funkcją , taką, że i , gdzie .

Długość elementu krzywej ma postać (korzystając z twierdzenia Pitagorasa)

gdzie to małe zmiany współrzędnych.

Wtedy długość całej krzywej dana jest całką:

Metodami rachunku wariacyjnego możemy wyznaczyć krzywą minimalizującą funkcjonał dany tą całką. W tym przypadku krzywa dana jest równaniem:

.

Zasada Fermata[edytuj]

 Osobny artykuł: Zasada Fermata.

Związane z szukaniem geodezyjnej jest szukanie drogi promienia światła. Jeśli współczynnik załamania światła w ośrodku jest stały, to światło biegnie po liniach prostych, ale załamuje się przy zmianach współczynnika załamania. Ogólnie, zgodnie z zasadą Fermata, światło porusza się po krzywej, dla której czas biegu promienia jest najkrótszy.

Czas, w którym światło pokonuje drogę wynosi gdzie , jest prędkością światła w ośrodku, to prędkością światła w próżni a to współczynnikiem załamania światła.

Wobec tego funkcjonał, który chcemy minimalizować ma postać:

W przypadku dwuwymiarowym otrzymujemy:

gdzie to krzywa, po której porusza się promień, taka, że i .

Metody rachunku wariacyjnego[edytuj]

Równania Eulera-Lagrange'a[edytuj]

 Osobny artykuł: Równania Eulera-Lagrange'a.

Są to podstawowe równania rachunku wariacyjnego, służące do znajdowania ekstremów funkcjonałów danych całką. Rozwiązaniami równań E-L są funkcje, dla których całka przyjmuje wartości ekstremalne.

Jeśli funkcjonał ma postać

to równania E-L mają postać

gdzie może być liczbą rzeczywistą albo wektorem - w drugim przypadku dostajemy układ równań

gdzie jest współrzędną.

Warto wspomnieć, że procedury rozwiązywania zagadnień wariacyjnych prowadzą często do równań różniczkowych cząstkowych, które w ogólności są bardzo trudne do rozwiązania. Zadanie komplikuje fakt, że teoria równań różniczkowych zajmuje się poszukiwaniem rozwiązań w otoczeniu danego punktu, natomiast w rachunku wariacyjnym interesuje nas rozwiązanie na danym obszarze.

Bibliografia[edytuj]

  • John R. Taylor: Mechanika klasyczna. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 212-232. ISBN 978-83-01-14674-0.
  • Frederick W. Byron, Robert W. Fuller: Matematyka w fizyce klasycznej i kwantowej. T. 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975, s. 45-53.