Radykał ideału

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Radykał -- w pierścieniu przemiennym , radykał ideału (oznaczany przez [1]) to zbiór wszystkich elementów pierścienia, których pewna potęga leży w ideale :

[1]

Dowodzi się, że radykał ideału również jest ideałem, oraz gdy ideał jest pierwszy, to . Implikacja w drugą stronę jednak nie zachodzi: równość nie implikuje pierwszości ideału , jako kontrprzykład można wziąć np. ideał generowany przez w pierścieniu wielomianów dwóch zmiennych nad ciałem liczb wymiernych . W związku z tym, ideały spełniające nazywamy ideałami radykalnymi.

Radykał ideału jest równy przecięciu wszystkich ideałów pierwszych zawierających .

Ideały radykalne odgrywają dużą rolę w klasycznej geometrii algebraicznej, ze względu na wyrażaną poprzez twierdzenie Hilberta o zerach odpowiedniość ideałów radykalnych w pierścieniach wielomianów nad ciałami algebraicznie domkniętymi, a rozmaitościami algebraicznymi nad tymi ciałami.

Przypisy

  1. a b Affine Varieties Definition 1.5

Bibliografia[edytuj]

  1. Miles Reid: Undergraduate Commutative Algebra. New York: Cambridge University Press, 1995. ISBN 0-521-45889-7.