Ranga grupy abelowej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Ranga grupy abelowej – uogólnienie pojęcia rangi grupy abelowej wolnej na dowolne grupy abelowe; można ją postrzegać jako najmniejszą liczbę elementów generujących daną grupę abelową. Ranga grupy abelowej wyznacza rozmiar największej grupy abelowej wolnej zawartej w tej grupie. Jeżeli grupa jest beztorsyjna, to rangę można traktować analogicznie do wymiaru przestrzeni liniowej: jest to w istocie wymiar najmniejszej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych, w której można zanurzyć daną grupę abelową.

Grupy abelowe są modułami nad pierścieniem liczb całkowitych, więc niżej przedstawiona definicja przenosi się wprost na moduły nad dowolnymi pierścieniami; z kolei odpowiednikiem rangi grupy abelowej wolnej jest ranga modułu wolnego.

Definicja[edytuj]

Niech oznacza dowolną grupę abelową. Rangą grupy nazywa się moc maksymalnego układu liniowo niezależnego zawierającego wyłącznie elementy rzędu nieskończonego i rzędu będącego potęgą pewnej liczby pierwszej. Rangę grupy abelowej oznacza się zwykle symbolem .

Moc układu zawierającego wyłącznie elementy nieskończonego rzędu w który jest maksymalny względem tej własności nazywa się rangą beztorsyjną grupy i oznacza symbolem . Dla ustalonej liczby pierwszej i grupy abelowej definiuje się również liczbę kardynalną jako moc maksymalnego maksymalnego układu liniowo niezależnego zawierające elementy postaci , gdzie jest pewną nieujemną liczbą całkowitą.

Równoważnie rangę grupy można zdefiniować jako wymiar przestrzeni liniowej (zob. iloczyn tensorowy) nad

Własności[edytuj]

  • Ranga dla dowolnej liczby naturalnej jest równa ogólniej ranga grupy abelowej wolnej nad zbiorem jest równa jego mocy.
  • Grupa jest rangi
  • Równość pociąga za sobą fakt, iż musi być grupą trywialną. Z kolei oznacza, że jest torsyjna. Z drugiej strony dla grupy beztorsyjnej zachodzi równość
  • Ranga jest addytywna względem krótkich ciągów dokładnych: jeżeli jest krótkim ciągiem dokładnym grup abelowych, to
  • Jeżeli oraz oznaczają odpowiednio podgrupę torsyjną i podgrupę p-torsyjną grupy to zachodzą równości
  • Ranga jest addytywna względem dowolnych sum prostych:
gdzie prawa strona równości wyrażona jest w arytmetyce liczb kardynalnych; w szczególności z faktu, iż dowolna grupa daje się rozłożyć na część beztorsyjną i torsyjną, ta zaś na tzw. p-składowe wynika (na podstawie poprzedniej własności), że wszystkie trzy rodzaje rang łączy następująca relacja:
  • Rangi niezmiennikami grupy Z powyższych obserwacji wynika, że aby udowodnić niezmienniczość wystarczy dowieść niezmienniczości oraz co z kolei na postawie powyższych zależności oznacza, że wystarcza ograniczyć się do grup beztorsyjnych oraz p-grup.

Grupy wyższych rang[edytuj]

Ranga jest ważnym niezmiennikiem skończenie generowanych grup abelowych: każda taka grupa jest wyznaczona z dokładnością do izomorfizmu przez jej rangę i jej część torsyjną (w szczególności każda skończenie generowana beztorsyjna grupa abelowa jest grupą abelową wolną). Do tej pory ukończono klasyfikację beztorsyjnych grup abelowych rangi 1. Teoria grup abelowych wyższej rangi, a więc opis niezmienników takich grup, nadal jest przedmiotem badań.

Grupy abelowe rangi większej niż 1 są źródłem wielu interesujących przykładów. Przykładowo dla każdej liczby kardynalnej istnieją beztorsyjne grupy abelowe rangi które są nierozkładalne, tzn. nie mogą być wyrażone w postaci sumy prostej ich podgrup właściwych. Fakt ten ukazuje, że beztorsyjne grupy abelowe rangi większej niż 1 nie mogą być budowane z dobrze znanych beztorsyjnych grup abelowych rangi 1.

Co więcej, dla każdej liczby całkowitej istnieje beztorsyjna grupa rangi która ma rozkłady proste na oraz na nierozkładalnych składników. W ten sposób, dla grup rangi nie mniejszej niż nie można określić jednoznacznie nawet liczby składników nierozkładalnych.

Ograniczenie się do rozkładów prostych o ustalonej liczbie nierozkładalnych składników także nie daje jednoznaczności rozkładu prostego, co obrazuje uderzający wynik Cornera: dla danych liczb całkowitych istnieje taka beztorsyjna grupa abelowa rangi że dla dowolnego rozkładu na liczb naturalnych dla grupę można przedstawić w postaci sumy prostej nierozkładalnych podgrup o rangach Oznacza to, że nawet ciąg rang składników nierozkładalnych danego rozkładu prostego beztorsyjnej grupy abelowej skończonej rangi nie może być niezmiennikiem

Innym zaskakującym przykładem jest twierdzenie Fuchsa i Loonstry mówiące, iż dla danej liczby całkowitej istnieją dwie nierozkładalne, beztorsyjne grupy abelowe oraz rangi takie, że sumy proste ich egzemplarzy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli

Dla grup abelowych rangi nieskończonej istnieje przykład grupy i jej podgrupy o następujących własnościach:

  • jest nierozkładalna;
  • jest generowana przez i dowolny inny element (tzn. jest sumą, lecz nieprostą);
  • dowolny niezerowy składnik prosty jest nierozkładalny.