Ranga grupy abelowej

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Ranga grupy abelowej – uogólnienie pojęcia rangi grupy abelowej wolnej na dowolne grupy abelowe; można ją postrzegać jako najmniejszą liczbę elementów generujących daną grupę abelową. Ranga grupy abelowej wyznacza rozmiar największej grupy abelowej wolnej zawartej w tej grupie. Jeżeli grupa jest beztorsyjna, to rangę można traktować analogicznie do wymiaru przestrzeni liniowej: jest to w istocie wymiar najmniejszej przestrzeni liniowej nad ciałem liczb wymiernych, w której można zanurzyć daną grupę abelową.

Grupy abelowe są modułami nad pierścieniem liczb całkowitych, więc niżej przedstawiona definicja przenosi się wprost na moduły nad dowolnymi pierścieniami; z kolei odpowiednikiem rangi grupy abelowej wolnej jest ranga modułu wolnego.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech oznacza dowolną grupę abelową. Rangą grupy nazywa się moc maksymalnego układu liniowo niezależnego zawierającego wyłącznie elementy rzędu nieskończonego i rzędu będącego potęgą pewnej liczby pierwszej. Rangę grupy abelowej oznacza się zwykle symbolem

Moc układu zawierającego wyłącznie elementy nieskończonego rzędu w który jest maksymalny względem tej własności nazywa się rangą beztorsyjną grupy i oznacza symbolem Dla ustalonej liczby pierwszej i grupy abelowej definiuje się również liczbę kardynalną jako moc maksymalnego układu liniowo niezależnego zawierające elementy postaci gdzie jest pewną nieujemną liczbą całkowitą.

Równoważnie rangę grupy można zdefiniować jako wymiar przestrzeni liniowej (zob. iloczyn tensorowy) nad

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Ranga dla dowolnej liczby naturalnej jest równa ogólniej ranga grupy abelowej wolnej nad zbiorem jest równa jego mocy.
  • Grupa jest rangi
  • Równość pociąga za sobą fakt, iż musi być grupą trywialną. Z kolei oznacza, że jest torsyjna. Z drugiej strony dla grupy beztorsyjnej zachodzi równość
  • Ranga jest addytywna względem krótkich ciągów dokładnych: jeżeli jest krótkim ciągiem dokładnym grup abelowych, to
  • Jeżeli oraz oznaczają odpowiednio podgrupę torsyjną i podgrupę p-torsyjną grupy to zachodzą równości
  • Ranga jest addytywna względem dowolnych sum prostych:
gdzie prawa strona równości wyrażona jest w arytmetyce liczb kardynalnych; w szczególności z faktu, iż dowolna grupa daje się rozłożyć na część beztorsyjną i torsyjną, ta zaś na tzw. p-składowe wynika (na podstawie poprzedniej własności), że wszystkie trzy rodzaje rang łączy następująca relacja:
  • Rangi niezmiennikami grupy Z powyższych obserwacji wynika, że aby udowodnić niezmienniczość wystarczy dowieść niezmienniczości oraz co z kolei na podstawie powyższych zależności oznacza, że wystarcza ograniczyć się do grup beztorsyjnych oraz p-grup.

Grupy wyższych rang[edytuj | edytuj kod]

Ranga jest ważnym niezmiennikiem skończenie generowanych grup abelowych: każda taka grupa jest wyznaczona z dokładnością do izomorfizmu przez jej rangę i jej część torsyjną (w szczególności każda skończenie generowana beztorsyjna grupa abelowa jest grupą abelową wolną). Do tej pory ukończono klasyfikację beztorsyjnych grup abelowych rangi 1. Teoria grup abelowych wyższej rangi, a więc opis niezmienników takich grup, nadal jest przedmiotem badań.

Grupy abelowe rangi większej niż 1 są źródłem wielu interesujących przykładów. Przykładowo dla każdej liczby kardynalnej istnieją beztorsyjne grupy abelowe rangi które są nierozkładalne, tzn. nie mogą być wyrażone w postaci sumy prostej ich podgrup właściwych. Fakt ten ukazuje, że beztorsyjne grupy abelowe rangi większej niż 1 nie mogą być budowane z dobrze znanych beztorsyjnych grup abelowych rangi 1.

Co więcej, dla każdej liczby całkowitej istnieje beztorsyjna grupa rangi która ma rozkłady proste na oraz na nierozkładalnych składników. W ten sposób, dla grup rangi nie mniejszej niż nie można określić jednoznacznie nawet liczby składników nierozkładalnych.

Ograniczenie się do rozkładów prostych o ustalonej liczbie nierozkładalnych składników także nie daje jednoznaczności rozkładu prostego, co obrazuje uderzający wynik Cornera: dla danych liczb całkowitych istnieje taka beztorsyjna grupa abelowa rangi że dla dowolnego rozkładu na liczb naturalnych dla grupę można przedstawić w postaci sumy prostej nierozkładalnych podgrup o rangach Oznacza to, że nawet ciąg rang składników nierozkładalnych danego rozkładu prostego beztorsyjnej grupy abelowej skończonej rangi nie może być niezmiennikiem

Innym zaskakującym przykładem jest twierdzenie Fuchsa i Loonstry mówiące, iż dla danej liczby całkowitej istnieją dwie nierozkładalne, beztorsyjne grupy abelowe oraz rangi takie, że sumy proste ich egzemplarzy są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli

Dla grup abelowych rangi nieskończonej istnieje przykład grupy i jej podgrupy o następujących własnościach:

  • jest nierozkładalna;
  • jest generowana przez i dowolny inny element (tzn. jest sumą, lecz nieprostą);
  • dowolny niezerowy składnik prosty jest nierozkładalny.