Reguła LaSalle’a
Reguła LaSalle’a (znana również jako reguła Barbaszina-Krasowskiego-LaSalle’a lub reguła Krsowskiego-LaSalle’a) – kryterium asymptotycznej stabilności autonomicznych (także nieliniowych) układów dynamicznych.
Wersja globalna
[edytuj | edytuj kod]Niech autonomiczny układ dynamiczny będzie dany przez:
gdzie – jest wektorem wektor zmiennych, oraz:
Jeśli istnieje funkcja taka że:
- dla wszystkich
wtedy zbiór graniczny każdej trajektorii jest zawarty w gdzie to suma trajektorii zawartych w zbiorze
Jeśli ponadto dla funkcji mamy:
- dla wszystkich
i jeśli nie zawiera trajektorii innych niż for wtedy środek układu współrzędnych jest asymptotycznie stabilny.
Dodatkowo, jeśli jest nieograniczona z rosnącą normą, tj.
- gdy
wtedy środek jest globalnie asymptotycznie stabilny.
Wersja lokalna
[edytuj | edytuj kod]Jeśli:
- dla
zachodzi tylko dla w pewnym otoczeniu oraz zbiór
nie zawiera trajektorii układu poza trajektorią trywialną, wtedy lokalna wersja twierdzenia mówi, że początek układu współrzędnych jest asymptotycznie stabilny.
Oryginalne publikacje
[edytuj | edytuj kod]- Joseph LaSalle. Some extensions of Liapunov’s second method. „IRE Transactions on Circuit Theory”, s. 520–527, 1960.
- E.A. Barbashin, N. Krasovskii. Yстойчивости движения в целом. „Doklady Akademii Nauk SSSR”. 86, s. 453–456, 1952.
- N. Krasovskii , Problems of the Theory of Stability of Motion (przekład angielski), Stanford University Press, 1963 .
Bibliografia
[edytuj | edytuj kod]- J.P. LaSalle, S. Lefschetz: Stability by Liapunov’s direct method. Academic Press, 1961.
- W.M. Haddad, V.S. Chellaboina: Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press, 2008. ISBN 978-0-691-13329-4.
- G. Teschl: Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2012. ISBN 978-0-8218-8328-0.
- S. Wiggins: Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Wyd. 2. Nowy Jork: Springer Verlag, 2003. ISBN 0-387-00177-8.