Regularność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Element regularny półgrupy to element, który posiada (uogólnioną) odwrotność. Podzbiór półgrupy nazywamy podzbiorem regularnym, jeżeli każdy jego element jest regularny. Półgrupa regularna to taka, która jest swoim podzbiorem regularnym.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech S będzie półgrupą i x jej elementem. Powiemy, że x jest regularny, jeśli istnieje y\in S taki że xyx=x.

Istnienie odwrotności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli element półgrupy jest regularny, to istnieje element do niego odwrotny w następującym sensie.

Definicja. Jeżeli S jest półgrupą, a x i y jej elementami, to powiemy, że y jest (uogólnionym) elementem odwrotnym do x, jeżeli xyx=x oraz yxy=y.

Jeżeli x jest elementem regularnym S, czyli xyx=x dla pewnego y\in S, to yxy jest elementem odwrotnym do x, co nietrudno sprawdzić.

\mathcal{D}-klasy regularne[edytuj | edytuj kod]

Okazuje się, że regularność jest w istocie cechą \mathcal{D}-klas półgrupy (zob. relacje Greena), co pokazuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Jeżeli pewna \mathcal{D}-klasa \mathrm{D} półgrupy S zawiera element regularny, to każdy element \mathrm{D} jest regularny.

Ważna jest też następująca charakteryzacja \mathcal{D}-klas regularnych:

Twierdzenie. Niech \mathrm{D}\in S/\mathcal{D}. \mathrm{D} jest reglarna wtedy i tylko wtedy gdy dla każdych \mathrm{L}\in S/\mathcal{L} i \mathrm{R}\in S/\mathcal{R} takich, że \mathrm{L}\subseteq\mathrm{D} i \mathrm{R}\subseteq\mathrm{D} zarówno \mathrm{L} jak i \mathrm{R} zawiera przynajmniej jeden idempotent.

Lemat Lallementa[edytuj | edytuj kod]

W badaniu półgrup regularnych ważne jest twierdzenie opublikowane przez Gérarda Lallement‎a w 1966.

Oznaczenia. Niech \rho będzie kongruencją na półgrupie regularnej S. Przez x\rho oznaczymy klasę abstrakcji elementu x w relacji \rho.

Teza. Jeżeli a\rho jest idempotentem w S/\rho, to istnieje idempotent e w S, taki że a\rho=e\rho . Ponadto, można e wybrać tak, by \mathrm{R}_e\leqslant\mathrm{R}_a oraz \mathrm{L}_e\leqslant\mathrm{L}_a.

Twierdzenie odwrotne do lematu Lallementa jest fałszywe. Istnieje wiele półgrup, które nie są regularne, ale spełniają tezę lematu Lallementa. W szczególności, spełnia ją każda półgrupa skończona.