Regularność

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Element regularny półgrupy to element, który posiada (uogólnioną) odwrotność. Podzbiór półgrupy nazywamy podzbiorem regularnym, jeżeli każdy jego element jest regularny. Półgrupa regularna to taka, która jest swoim podzbiorem regularnym.

Definicja[edytuj]

Niech będzie półgrupą i jej elementem. Powiemy, że jest regularny, jeśli istnieje taki że

Istnienie odwrotności[edytuj]

Jeżeli element półgrupy jest regularny, to istnieje element do niego odwrotny w następującym sensie.

Definicja. Jeżeli jest półgrupą, a i jej elementami, to powiemy, że jest (uogólnionym) elementem odwrotnym do jeżeli oraz

Jeżeli jest elementem regularnym , czyli dla pewnego to jest elementem odwrotnym do co nietrudno sprawdzić.

-klasy regularne[edytuj]

Okazuje się, że regularność jest w istocie cechą -klas półgrupy (zob. relacje Greena), co pokazuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie. Jeżeli pewna -klasa półgrupy zawiera element regularny, to każdy element jest regularny.

Ważna jest też następująca charakteryzacja -klas regularnych:

Twierdzenie. Niech jest reglarna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdych i takich, że i zarówno jak i zawiera przynajmniej jeden idempotent.

Lemat Lallementa[edytuj]

W badaniu półgrup regularnych ważne jest twierdzenie opublikowane przez Gérarda Lallementa w 1966.

Oznaczenia. Niech będzie kongruencją na półgrupie regularnej Przez oznaczymy klasę abstrakcji elementu w relacji

Teza. Jeżeli jest idempotentem w to istnieje idempotent w taki że Ponadto, można wybrać tak, by oraz

Twierdzenie odwrotne do lematu Lallementa jest fałszywe. Istnieje wiele półgrup, które nie są regularne, ale spełniają tezę lematu Lallementa. W szczególności, spełnia ją każda półgrupa skończona.