Regularyzacja funkcją dzeta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Regularyzacja funkcją dzeta – rodzaj regularyzacji lub metoda sumowania, która przypisuje skończone wartości dla rozbieżnych szeregów lub iloczynów. Sposób ten jest obecnie powszechnie stosowany do rozwiązywania problemów fizycznych, lecz pierwotnie wywodzi się z prób nadania dokładnych znaczeń dla źle uwarunkowanych sum w teorii liczb.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Istnieje wiele różnych metod sumowania określanych mianem regularyzacji funkcją dzeta stosowanych do obliczenia wartości potencjalnie rozbieżnych szeregów a1 + a2 + ….

Jedną z metod jest zdefiniowanie sumy regularyzowanej funkcją dzeta jako ζA(−1), gdzie funkcja dzeta jest zdefiniowana dla dużych Re(s) jako

 \zeta_A(s) = \frac{1}{a_1^s}+\frac{1}{a_2^s} +\cdots

dla s w których ten szereg jest zbieżny, lub stosując przedłużenie analityczne tej funkcji dla pozostałych wartości. W przypadku gdy an = n zastosowana funkcja dzeta staje się zwykłą funkcją dzeta Riemanna. Taką metodę zastosował Euler do „zsumowania” szeregu 1 + 2 + 3 + 4 + … obliczając ζ(−1) = −1/12.

Inną metodą jest zdefiniowanie potencjalnie rozbieżnego iloczynu a1a2… jako exp(−ζ′A(0)). Ray i Sinker[1] zastosowali tę metodę aby określić wyznacznik dodatniego operatora A (laplasjanu rozmaitości riemannowskiej w ich zastosowaniu) z wartościami własnymi a1, a2, …. W tym konkretnym przypadku funkcja dzeta jest formalnie śladem As.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Przykładem zastosowania regularyzacji funkcją dzeta jest wyznaczenie wartości oczekiwanej energii próżni w kwantowej teorii pola. Uogólniając, funkcją dzeta można zastosować do regularyzacji całego tensora napięć-energii w zakrzywionej czasoprzestrzeni[2][3].

Nieuregulowana wartość energii jest wyznaczona jako suma wszystkich stanów wzbudzonych energii punktu zerowego:

\langle 0|T_{00} |0\rangle = \sum_n \frac{\hbar |\omega_n|}{2}

w którym, T_{00} jest zerowym składnikiem tensora napięć a suma (która może być całką) jest rozumiana jako rozszerzenie na wszystkie (dodatnie i ujemne) stany energetyczne \omega_n; moduł podkreśla, że liczona jest energia całkowita. Suma ta, zapisana w tej postaci, jest zazwyczaj nieskończona (typowo \omega_n jest w zależności liniowej z n). Może ona być uregularyzowana przez zapisanie jako

\langle 0|T_{00}(s) |0\rangle = \sum_n \frac{\hbar |\omega_n|}{2} |\omega_n|^{-s}

gdzie s jest jakimś parametrem w dziedzinie liczb zespolonych. Dla liczb rzeczywistych s większych niż 4 (dla przestrzeni trójwymiarowej), suma ta staje się skończona, a więc często może być wyliczona teoretycznie.

Taka suma ma zwykle biegun dla s = 4, z powodu masowego udziału pola kwantowego w przestrzeni trójwymiarowej. Jednak, dzięki przedłużeniu analitycznemu udaje się uzyskać wartości dla s = 0, w którym funkcja już bieguna nie ma, a więc wartość wyrażenia jest skończona. Szczegółową analizę tego rozwiązania można znaleźć w pracach na temat efektu Casimira.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds. „Advances in Math.”. 7, s. 145–210, 1971. DOI: 10.1016/0001-8708(71)90045-4. 
  2. V. Moretti, Direct z-function approach and renormalization of one-loop stress tensor in curved spacetimes, Phys. Rev.D 56, 7797 (1997).
  3. A. Bytsenko, G. Cognola, E. Elizalde, V. Moretti i S. Zerbini: Analytic Aspects of Quantum Fields. World Scientific Publishing, 2003. ISBN 981-238-364-6.