Relacja antysymetryczna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Relacja antysymetryczna, relacja słabo antysymetryczna – dwuczłonowa relacja, która nie może zachodzić jednocześnie dla par (x, y) i (y, x) dla różnych x i y.

Formalnie relację dwuczłonową \varrho \subset X\times X nazywa się antysymetryczną, gdy:

\forall_{x, y \in X}( x\;\varrho\; y \and y \;\varrho\; x \; \Rightarrow \; x = y).

Innymi słowy, dla każdych dwóch elementów ze zbioru, na którym określono relację antysymetryczną, jeśli te dwa elementy pozostają ze sobą w tej relacji bez względu na ich kolejność, to elementy te są identyczne (tzn. jest to ten sam element).

Powyższe zdanie jest kontrapozycją warunku przedstawionego we wstępie: jeśli dwa elementy są różne, to relacja antysymetryczna między nimi nie zachodzi przynajmniej w jedną stronę (dla x \ne y przynajmniej jedna z par (x, y) i (y, x) nie należy do relacji).

Obie nazwy: relacja antysymetryczna i relacja słabo antysymetryczna, są w użyciu. Na przykład Wojciech Guzicki i Piotr Zakrzewski[1] podają pierwszą nazwę, ale Wiktor Marek i Janusz Onyszkiewicz[2] używają drugiej.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Relacja równości w dowolnym zbiorze.
  • Relacja porządku w alfabecie łacińskim – dla dowolnie wybranych dwu różnych liter nie może jedna z nich występować w alfabecie jednocześnie wcześniej i później niż druga (to samo tyczy wszelkich porządków).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Wojciech Guzicki; Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005. Strona 173. ISBN 83-01-14415-7.
  2. Wiktor Marek; Janusz Onyszkiewicz: Elementy logiki i teorii mnogości w zadaniach, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1975, wydanie 2., strona 38.